BIBLIOGRAPHIE 
d’une équation différentielle, linéaire et homogène du second 
ordre, comprennent, à titre de cas particuliers, les fonctions 
sphériques ordinaires de Legendre, les fonctions annulaires et 
les fonctions coniques. 
L’ouvrage se divise en trois parties. 
La première a pour but de grouper un ensemble de notions 
et de lemmes que l’auteur utilise par la suite, et notamment un 
résumé des propriétés fondamentales de la fonction gamma et 
de la fonction hypergéométrique. On y rencontre une importante 
digression, due à M. Nielsen lui-même, sur une classe de séries 
infinies. 
C’est dans la deuxième partie qu’est développée la théorie 
générale des fonctions métasphériques définies au moyen d’un 
système de deux équations fonctionnelles renfermant deux 
quantités arbitraires t et p dites l’une le paramètre, l’autre l’in- 
dice de la fonction. L’auteur montre immédiatement que la 
fonction la plus générale ainsi définie est intégrale d’une équa- 
tion différentielle, linéaire et homogène, du second ordre, du 
type dit équation de Legendre, et que toute fonction métasphé- 
rique peut s’exprimer linéairement au moyen de deux telles 
fonctions, supposées indépendantes, les coefficients étant des 
fonctions du paramètre y et de l’indice p, périodiques (et de 
période 1) par rapport à ce dernier. 11 fait voir, en outre, com- 
ment toutes les fonctions métasphériques peuvent se ramener 
à quatre fonctions fondamentales qu’il dénomme M, N, P, Q, 
et même comment leur étude peut se réduire à celle de la fonc- 
tion Q. C’est là, dans un domaine transcendant, un fait analogue 
à celui qui résulte, dans le domaine tout élémentaire de la tri- 
gonométrie, de la considération, par exemple, de la fonction 
sinus. 
L’étude du prolongement analytique et de la nature des points 
critiques des fonctions métasphériques est pour M. Nielsen 
l’occasion de développements originaux où s’affirme son habileté 
analytique et qui le conduisent à maints résultats nouveaux. 
Sous le nom de fonctions ultrasphériques, il envisage à part 
celles à indice entier, qui jouissent de propriétés particulières 
intéressantes dont quelques-unes avaient, par d’autres voies, 
été déjà rencontrées par divers analystes, au premier rang 
desquels il faut citer Euler et Jacobi. 
A titre d’applications des formules fondamentales, l’auteur 
traite divers problèmes difficiles qui le conduisent, par une voie 
