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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
systématique, à d’importants résultats dus à Gauss, à Legendre, 
à François Neumann. 
La troisième partie de l’ouvrage est consacrée aux séries 
infinies dont les termes sont constitués au moyen de fonctions 
métasphériques, jouant, dans ce domaine, un rôle analogue à 
celui que remplissent les séries de Fourier par rapport aux 
fonctions trigonométriques. 
C’est ainsi que Fauteur envisage successivement les séries de 
Charles Neumann et de François Neumann, applicables au 
développement de fonctions analytiques en des domaines limités 
par certaines ellipses. Il éclaire d’ailleurs cet exposé d’exemples 
intéressants. 
Poussant ses propres recherches plus loin encore, M. Nielsen 
est parvenu, en dépit des exceptionnelles difficultés de la ques- 
tion, à édifier, à son tour, une savante théorie des séries infinies 
dans lesquelles l’élément, au lieu d’être simplement une fonction 
métasphérique, est le produit de deux telles fonctions. Malheu- 
reusement, de telles séries, ainsi que Fauteur le remarque lui- 
même, « sont aussi compliquées qu’elles ne semblent présenter 
qu’un intérêt médiocre au point de vue des applications pra- 
tiques ». L’auteur se borne donc, simplement pour mettre en 
lumière la façon dont il a triomphé des obstacles que rencontre 
une telle recherche, à traiter le cas le plus simple, celui où 
l’élément générateur de la série est un carré de fonction méta- 
sphérique. 
M. Nielsen étudie ensuite quelques séries de fonctions hyper- 
géométriques généralisées, indiquant la possibilité d’une éva- 
luation commune de toutes les séries connues de ce genre. 
11 établit enfin deux formules d’addition relatives aux fonctions 
métasphériques, dont la seconde lui appartient en propre, et 
dont, ainsi qu’il en fait la remarque, « la raison... est à chercher 
dans le fait curieux que la fonction métasphérique générale, 
prise d’un argument très compliqué, satisfait à des équations 
* aux dérivées partielles d’une forme très simple ». 
La quatrième et dernière partie est réservée à l’examen de la 
façon dont interviennent les fonctions métasphériques dans la 
détermination de certaines intégrales définies. On a plaisir à y 
voir déduire, des formules générales précédemment établies, de 
beaux résultats dus à Laplace, Jacobi, Heine, Dirichlet,... L’au- 
teur développe à ce point de vue d’intéressantes applications 
des séries de Charles Neumann et des formules d’addition ; il 
