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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
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Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées 
curvilignes, par G. Darboux, Secrétaire perpétuel de l’Académie 
des Sciences, Professeur à l’Université de Paris, 2 me édit., com- 
plétée. Un vol. in-8° de 567 pages. — Paris, Gauthier-Villars, 
1910. 
La première édition de cet ouvrage (1), parue en 1898, était 
destinée, dans la pensée de l’auteur, cà être suivie d’un Tome 11 
qu’il avait dessein de consacrer à l’exposition de certaines 
théories liées au sujet principal, de celles notamment qui con- 
cernent les formes quadratiques de différentielles. Diverses cir- 
constances ne lui ayant pas permis de remplir tout le programme 
qu’il s’était ainsi tracé, M. Darboux s’est décidé à constituer, au 
moyen des matériaux qu’il avait commencé à réunir pour ce 
second volume, un complément au premier dont la nouvelle 
édition, ainsi accrue, se trouve renfermer, ainsi que le fait 
remarquer l’auteur lui-même, « tout ce qui, au moment présent, 
est acquis d’essentiel à la Science sur la belle théorie inaugurée 
par les travaux de Gabriel Lamé ». Le volume ainsi constitué 
apparaît alors comme une sorte de cinquième volume pour celte 
importante suite de Leçons sur la théorie générale des surfaces 
qui resteront comme l’œuvre maîtresse du savant géomètre. 
A la suite des deux premiers livres qui figuraient dans la pre- 
mière édition, la partie nouvelle forme, sous le titre de Théories 
générales, le Livre 111. Elle s’ouvre par un chapitre d’essence 
purement analytique, où l’auteur étudie certains systèmes 
d’équations aux dérivées partielles du premier ordre qui jouent 
en Géométrie infinitésimale un rôle capital, savoir : des systèmes 
résolus par rapport à toutes les dérivées des fonctions inconnues 
y figurant. 
L’auteur distingue parmi eux et traite à part : 1° ceux pour 
lesquels on connaît une dérivée, et une seule, de chaque fonc- 
tion inconnue ; 2° ceux qui déterminent toutes les dérivées des 
fonctions inconnues et où toutes les conditions d’intégrabi lité 
sont vérifiées; 3° ceux où certaines fonctions entrent par plu- 
sieurs dérivées. En employant, au lieu des séries de Cauchy, la 
méthode d’approximation de M. Picard, M. Darboux établit, pour 
(1) Voir la Revue de juillet 1898, p. 268. 
