HENRI POINCARE 
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Nous suivrons l’ordre historique en parlant, mainte- 
nant, de la création capitale de M. Poincaré, du « chef- 
d’œuvre ». 
Fonctions fiichsiennes et abéliennes 
Considérons une équation différentielle ordinaire, 
d’ordre quelconque, à coefficients algébriques, (c’est- 
à-dire fonctions dex et i/, avec une relation P(j?, y) = 0, 
P désignant un polynôme). M. Poincaré intègre toutes 
ces équations, grâce aux fonctions ficc J t siennes, décou- 
vertes par lui (1) de la manière suivante. Les fonctions 
elliptiques et abéliennes sont des fonctions hipèrio- 
diques, c’est-à-dire satisfaisant aux relations : 
(uui et ujg sont les périodes). 
Pour élargir cet horizon, ^I. Poincaré cherche des 
fonctions satisfaisant à la relation : 
a, h, c, cl étant des constantes. 
On aura alors une subdivision du plan de la variable 
complexe, non plus en parallélogrammes (comme pour 
les fonctions bipériodiques), mais en polygones curvi- 
lignes et la connaissance de la fonction dans Vim des 
polygones entraînera sa connaissance dans tout le plan. 
Gomment ce plan est-il pavé par de tels polygones ; 
est-il pavé plusieurs fois ou une seule fois ? 
Question rude ! Et c’est la géométrie non-euclidienne 
qui tire d’embarras M. Poincaré. Ressource tout à fait 
inattendue, inspiration extraordinaire. On sait que, 
dans les fonctions elliptiques, on arrive à construire la 
double périodicité par le cpuotient de deux fonctions 
(1) Acta Matiiematica, tomes 1, 3, 4, 5. 
/■(O = /"O + + ^2) 
