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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
thêta. De même les fonctions fuchsiennes seront le 
quotient de deux fonctions thétafuclisiennes. Lorsque 
a, h, c, d sont rcc/5, les fonctions fuchsiennes existent, 
ou l)ien dans tout le plan, ou bien seulement dans un 
cercle fondamental. Lorsque les constantes sont cow- 
plexes, le domaine d’existence est limité par une infi- 
nité de circonférences ou bien par une courbe non 
analytique et n’ayant pas de rayon de courbure. On 
voit donc que de tels instruments analytiques ne sont 
pas à rejeter a priori. La fonction thètafuchsienne 
satisfait à la relation : 
Par analogie avec les fonctions elliptiques, M. Poincaré 
définit encore la fonction zètafuchsienne et c’est avec 
ces éléments nouveaux qu’il intègre ses équations 
linéaires à coefficients algébriques. 11 j’ a encore autre 
chose. Deux fonctions fuchsiennes d’un même groupe 
sont liées par une relation algébrique. Par suite les 
coordonnées d’une courbe algébrique peuvent être 
exprimées par des fonctions uniformes d’un para- 
mètre, résultat très saisissant et qui permet de simpli- 
fier et d’éclairer la théorie des intégrales abéliennes. 
Ces travaux immenses, que M. Poincaré a écrits, 
tout jeune encore, suffiraient pour mettre son nom 
parmi ceux des plus fameux géomètres de tous les 
temps. Créateur des fonctions dites fuchsiennes, ou 
automorphes, M. Poincaré n’a pas dédaigné de per- 
fectionner la théorie des fonctions abéliennes. 
L’inversion des intégrales abéliennes de première 
espèce conduit à certaines fonctions thêta, mais il existe 
des fonctions thêta tout à fait générales. 
Prenons alors une fonction quelconque, bipériodique 
relativement à chaque variable ; cette fonction peut-elle 
être représentée par un quotient de séries thêta ? Rie- 
