HENRI POINCARÉ 
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inann et Weierstrass ont dit oui, mais on ne possède 
[)as leurs démonstrations. 
Unissant leurs efforts, MM. Picard et Poincaré ont 
donné une élégante preuve de ce théorème. On sait 
(pi’iine question capitale se pose relativement aux 
racines des fonctions thêta. La fonction thêta d’?o?(? 
variable admet un zéro dans le parallélogramme des 
périodes et ce zéro est connu. Prenons le système 
suivant : 
0[ic, -j- rtj, 4- «2, ... x,i + a„] = 0 
avec n équations semblables, les constantes étant èj, 
... 5 Cj, ... , etc. 
Grâce à une formule de Kronecker et de M. Picard, 
on trouve que le nombre des solutions de ce sj^stème 
ne dépend ni ‘périodes, ni des constantes a, h , ... etc. 
Alors M. Poincaré prend un cas particulier, celui où 
la fonction tbéta-abélienne est le produit de n fonctions 
théta-elliptiques, et il prouve que le nombre des solu- 
tions est (i. 2 ... n). Résultat très saillant. 
Enfin, M. Poincaré a reconstruit les fonctions thêta, 
en partant de la théorie du potentiel dans l’byjier- 
espace, en séparant le réel et le complexe. Ce travail 
de construction est très instructif et séduisant (1). 
Courbes définies par les éi/uations différentielles 
N 
Si nous considérons les équations différentielles non 
linéaires, nous constatons aussi la grande trace laissée 
par M. Poincaré. Soient X et Y des polynômes en x et 
?/, et soit l’équation différentielle 
dx d]j 
(1) American Journal of Mathematics, volume VIII. — Acta Mathem.a- 
TicA, tomes 22 et 26. — Journal de Mathé.viaïiques, série, tome I. 
