HENRI POINCARÉ 
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Théorie des fonctions. Analysis Situ s 
La théorie générale des fonctions d’une varialde 
complexe, fondée jiar Cauclij, a attiré M. Poincaré 
par sa beauté. Weierstrass a eu une idée qui, au temps 
de Gaucli V, aurait paru bien drôle : c’est qu’une fonction 
analytique a un domaine d'existence., en dehors duquel 
elle n’a pas de prolongement. Ou bien faudrait-il don- 
ner de ce prolongement une définition absolument 
artificielle. On peut, évidemment, faire des conventions 
quelconques, dans les Mathématiques ; mais, si elles 
ne répondent à rien, les géomètres n’en auront cure et, 
d’instinct, les repousseront. 
M. P oincaré a Justifié l’idée de M'eierstrass et a con- 
struit des exemples nouveaux de fonctions à espace 
lacunaire. Nous savons que AVeierstrass a décomposé 
une fonction entière en facteurs pnmai)‘es, qui mettent 
les racines en évidence, magnifique épanouissement 
de la décomposition en produit infini du sinus. 
Si la fonction entière a pour expression taylorienne 
et si le genre est/*, AI. Poincaré prouve que l’on a : 
lim Au^^v'JAi.3... n = 0 
n — x * 
et, sur le cercle, |-| = R, R étant un nombre assez 
grand, il en résulte : 
j,p+i 
maximum \f(z)\ < 
a étant un nombre positif quelconque. Ces théorèmes 
ont marqué l’origine de progrès considérables et 
