REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
Equations intéfjrales 
Rappelons rénoncé du Problème de M. Fredholin. 
( )n donne la fonction rh (qui peut être identiquement 
nulle) et le noyau f ; la fonction cp est Tinconnue et doit 
satisfaire à \ équation intégrale : 
^>{x) = X [ f{x, y) (?{.y)dy + ip(ic). 
JO 
La constante X joue un rôle capital. Si le noyau est 
continu, on peut former deux fonctions entières de X, 
N et D, telles que l’on ait (1) : 
cp(^) = vp(aj) + ^{y) 
La solution est plus compliquée si 4^ est identique- 
ment nul ou bien si X prend certaines valeurs numé- 
riques dites caractéristiques. 
Qu’advient-il si le noyau est discontinu f M. Hilbert 
a résolu cette difficile question dans le cas oii la dis- 
continuité est assez simple et M. Poincaré dans un cas 
infiniment plus général. 
Prenant, tout simplement, les développements des 
déterminants qui entrent dans N et dans D, il donne, 
autrement que M. Fredholin, le développement du loga- 
rithme de D ; puis il nomme H l’ensemble des n — 1 
premiers termes de ce développement. 
lia alors l’idée de remplacer N et D par Ne ” et 
De"”, ce qui ne modifie par le quotient, et. par ce 
moyen ingénieux, il arrive au but : on remplacera les 
termes infinis par zéro dans les déterminants à inté- 
grer, de sorte que la solution conserve la même forme (2). 
(1) Leçons sur les Principes de l’Analyse, par rautcur. 
(2) Acta Matiiematica, tome 33. 
