IIEXRr POINCARÉ 
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îog'iques, d’abord tout hoiiimo intelligont comprendrait 
vite, ensuite chacun pourrait inrenter... 
Il n’en est rien et cela pour deux raisons. 
M. Poincaré montre que, dès le début de rArithnié- 
tique, pour établir la projiosition : 
(I b = h a 
a eih étant entiers, on se sert du principe de récur- 
rence. Le raisonnement }iar récurrence consiste en 
ceci : supposons que ce qui est vrai pour n soit encore 
vrai pour n -j- i ; sup])osons la dite jirojuâété vérifiée 
lorsque est pris égal à um ; la propriété aura lieu 
quel (pue soit n. « Le caractèi’e essentiel du raison- 
nement par récurrence c’est qu’il contient, condensés 
en une formule unique, une infinité de syllogismes (i)». 
Si la récurrence entraîne la certitude, c’est que notre 
esprit s’estime capable de refaire indéfiniment une 
opération qu’il a efiectuée une fois. 
L’infini mathématique, qui est « l’indéfiniment ré- 
pété » se trouve au principe de tout et ceci n’est point 
de la pure logique, c’est de l’induction, une induction 
raffinée. 
C’est parce ({ue le raisonnement mathématique est 
dynamique, jiarce qu’il est un progrès, un mouvement, 
c’est pour cela ([ue la science avance et c’est pour cela 
que l’on peut raisonner juste et jiiétiner sur place. 
Cette idée, chère à M. Poincaré, que le ])rincipe de 
récurrence — et des principes analogues — dominent 
la Mathématique, cette idée n’est pas toujours accejitée. 
Certains pliilosojihes veulent que la Mathématique se 
réduise à la Logique, c’est-à-dire n’ait point de prin- 
cipe })ropre, spécifique. 
C’est un débat très ancien ; Leibniz et Kant ont dit 
leur mot là-dessus ; M. Poincaré n’a jamais été plus 
U) Lfl Science et l'IInpothèsr, p. 20. 
