REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
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propriélés des Ibiiclions llièta. Mais la théorie de ces Ibiiclions 
auxiliaires n’en est pas moins très ditficile. A\issi Biiot préfère, 
dans sa théorie des abéliennes, exposer directement la théorie des 
fonctions thêta, sans passer par les fonctions auxiliaires. Noether 
a considérahlement perfeclionné la méthode de Clel)sch et 
(lordan, et l’a rapprochée de celle de Weierstrass. Malgré les 
progrès que la troisième méthode a l'ait faire à l’analyse et cà la 
géométrie, elle est moins répandue que celle de Riemann et 
parait à peu piès abandonnée. Dès J870, Clebsch a pi'édit à 
l’auteur de ces lignes que, malgré les apparences contraires, 
sa méthode et celle de Riemann avaient moins d’avenir que la 
quatrième méthode, celle de Weiersirass. 
Les méthodes de Gopel et Rosenhain, de Riemann, de Clebsch 
oL Cordan sont très éloignées des travaux d’Abel ; elles ont aussi 
moins de généralité, car pour arriver aux conclusions finales, 
on doit y introduire des restrictions diverses. La méthode de 
Weierstrass, longtem[)S moins connue que les précédentes, 
même en Allemagne, est la plus naturelle, la plus simple et la 
plus élégante et se rattache étroitement aux écrits d’Ahel. Che/ 
NVeierstrass toute la théorie est basée sur une identité d’Abel, 
exposée dans son mémoire 'intitulé : Petite contribution à la 
théorie de quelques fo)ictions transcendantes et qui s’applique 
même à des fonctions [ilus générales. Noether a aussi démontré 
cette identité; Weierstrass tire de cette identité une lelation 
entre les intégrales de première et de deuxième espèce analogue 
au théorème de Legendre (KL' + K'L — KK' = ly n), pour les 
intégrales elliptiiiues; les intégrales normales dé deuxième et 
de troisième espèce; le théorème de l’échange des paramètres 
et des arguments pour les dernières; les fonctions primaires 
(Primfunhtionen) et l’expression, au moyen de celles-ci, des 
intégrales des trois espèces et toutes les fonctions rationnelles 
de l’irrationalité dont dépendent les intégrales. II déduit de là, 
comme corollaire, le théorème d’Ahel ; en partant d’un cas parti- 
culier de celui-ci, il arrive au i)rohlème de .lacohi et de proche 
en proche, d’une manière naturelle, à la théorie de la fonction 
thêta générale, à ses propriétés, tà son développement en série. 
iXoether a reti'ouvé par des procédés géométi ico-algéhriques 
un grand nombre de ces résultats, obtenus par ^Yeierstrass au 
moyen des séries. M. Tiskhomandritzky est parvenu à les établir 
beaucoup plus simplement dans la première édition (1895) (en 
langue vn&se) des Éléments delà théorie des intéçjrales abéliennes. 
