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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
difficultés que présente cette question et la question plus géné- 
rale de la longueur des lignes courbes non planes dans Muthesis 
(1888, t. VIII, pp. 262-264; 1889, t. ÏX, pp. 112-116, 212-214) et 
nous y renvoyons le lecteur. Nous ajouterons qu’au point de vue 
géométrique pur, ces difficultés disparaissent ou sont considé- 
rablement réduites, quand on prend la définition suivante 
proposée par M. Peano (i ) : La longueur d’une courbe ed la limite 
suférieure, dans le sens de Weierstrass, des gjolygones inscrits 
dans la courbe. Une autre théorie à modifier complètement, non 
seulement dans le Traité de géométrie de MM. Rouclié et de 
Comberousse, mais aussi dans presque tous les manuels de 
géométrie descriptive, est celle du plan tangent aux surfaces. 
On sait qu’il existe des courbes continues qui n'ont de tangentes 
en aucun de leurs points; il est facile d’imaginer des surfaces 
qui n’aient pas non plus de plan tangent, en aucun de leurs points, 
par exemple, les cylindres et les cônes ayant pour directrices 
les lignes dont il vient d’être question. Il est donc impossible 
d’établir d’une manière générale l’existence du plan tangent dans 
les surfaces continues. Aussi, toutes les démonstrations proposées 
pour ce théorème contiennent-elles quelque paralogisme ou 
quelque postulat caché: celle de MM. Rouché et de Comberousse 
suppose implicitement que, sur toute surface, on puisse trouver, 
en chaque point, une courbe continue, lieu des points de 
contact de tangentes parallèles, à des courbes de la surface 
situées dans des plans parallèles. La vraie méthode pour établir 
l’existence du plan tangent, c’est de procéder en géométrie comme 
en analyse: il suffit de démontrer la chose successivement pour 
chaque espèce de surface considérée : surfaces réglées, surfaces 
de révolution, etc., en prenant pour point do départ explicite 
l’existence de la tangente aux courbes directrices. C’est ainsi qu’a 
procédé M. Goedseels, dans une Théorie des surfaces réglées 
(Louvain, Fonteyn, i 885 ), dont la partie essentielle pourrait être 
introduite utilement dans les n°® 884, 889 du Traité de géométrie 
(voir aussi Mathesis, i 883 , t. III, pp. 49-54). 
(!) C’est ce géomètre aussi qui a résolu le premier les difficultés plus 
grandes encore que présente la question de l'aire des surfaces. (Voir une note 
publiée par lui, le 19 janvier 1890, à l’Académie royale des Nuovi Lincei.) 
Soit dit en passant, nous croyons, conformément à l’avis de M. Catalan, et 
contrairement à celui des auteurs du Traité {n“ 739, p. 140 du tome II de la 
sixième édition, ou n“ 740, p. 470 de la première édition), que le volume, tout 
comme la surface d’un cylindre, doit être défini. Nous pourrions faire des 
observations analogues sur les aires des courbes planes. 
