D A R I T H M E T I y Ü E MO R ALE. 
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que par la ligne, il en est de même de la sur- 
face et du solide , il faut une surface ou un 
solide pour les mesurer ; cependant avec la 
ligue on peut souvent les mesurer tous trois 
par une correspondance sous-entendue de 
l’unité linéaire à l’unité de surface ou à l’u- 
nité de solide; par exemple, pour mesurer 
la surface d un carré , il suffit de mesurer la 
longueur d’un des côtés , et de multiplier 
cette longueur par elle-même , car cette 
multiplication produit une autre longueur, 
que l’on peut représenter par un nombre 
qui ne manquera pas de représenter aussi la 
surface cherchée , puisqu'il y a le même 
rapport entre l’unité linéaire , le côté du 
carré et la longueur produite , qu’entre l’u- 
nitédo surface, la surface qui ne s’étend que 
sur le côté du carré et la surface totale ? et 
par conséquent on peut prendre l’une pour 
l’autre ; U en est de même des solides ; et en 
général toutes les fois que les mêmes rap- 
ports de nombre pourront s’appliquer à dif- 
férentes qualités -ou quantités, on pourra 
toujours les mesurer les unes par les autres, 
et c’est pour cela qu’on a eu raison de repré- 
senter les vitesses par des lignes , les espa- 
ces par des surfaces, etc., et de mesurer 
plusieurs propriétés de la matière par les 
rapports qu elles ont avec ceux de 1 étendue. 
L'extension eu longueur se mesure tou- 
jours par une ligne droite prise arbitraire- 
ment pour l imité, avec un pied ou une toise, 
prise pour lunité ou mesure juste ; uue 
longueur de cent pieds ou de cent toises, 
avec un demi-pied ou une demi-toise prise 
de même pour l’unité ou mesure juste; cent 
pieds et demi ou cent toises et demie , et 
ainsi des autres longueurs : celles qui sont 
incommensurables, comme la diagonale et 
le côté du carré font une exception. 
Mais elle est bien légitime , car elle dé- 
pend de l’incommensurabilité primordiale 
de la surface avec la ligne , et du défaut de 
correspondance en certains cas des échelles 
de ces mesures; leur marche est, différente, 
et il n'est point étonnant qu'une surface 
double d’une autre, appuie sur une ligne 
dont on ne peut trouver le rapport en nom- 
bres, avec l’autre ligne sur laquelle appuie 
la première surface; car, dans l’arithméti- 
que , l’élévation aux puissances entières , 
comme au carré, au cube, etc , n est qu une 
multiplication ou même une addition d uni- 
tés; elle appartient par conséquent a 1 e- 
chelle d'arithmétique qui est eu usage ; et la 
suite de toutes ces puissances doit s’y trou- 
ver et s’y trouve , mais l’extraction des raci- 
nes , ou , ce qui est la même chose , l'éléva- 
tion aux puissances rompues n'appartient 
plus à cette même échelle , et tout de même 
qu’on ne peut , dans l’échelle denairc , ex- 
primer la fraction ‘/a que par une suite infi- 
nie oÆsssM/mooooo , etc. , ou ne peut aussi ex- 
primer les puissances rompues ou les racines 
‘A , ’/s , % , elc. , do plusieurs nombres , que 
par des suites infinies, et par conséquent ecs 
racines ne peuvent être mesurées par la 
marche d’aucune échelle commune : et 
comme la diagonale d’un carré est toujours 
la racine carrée du double d’un nombre 
carré , et que re nombre double ne peut lui- 
même être un nombre carré, il s'ensuit que 
le nombre qui représente celte diagonale, 
ne se trouve pas dans l'échelle d’arithméti- 
que et ne peut s'y trouver , quoique le nom- 
bre qui représente la surface s’y trouve , 
parce que la surface est représentée par une 
puissance entière , et la diagonale par la 
puissance rompue | de 2, laquelle n'existe 
point dans notre échelle. 
De la même manière qu'on mesure avec 
une ligne droite prise arbitrairement pour 
l’unité une longueur droite , ou peut aussi 
mesurer un assemblage de lignes droites, 
quelle que puisse être leur position entre 
elles ; aussi la mesure des figures polygones 
n'a-t-elle d’autre difficulté que celle d’une 
répétition de mesures en longueur, et d’une 
addition de leurs résultats; mais les courbes 
se refusent à cette forme , et notre unité de 
mesure, quelque petite qu’elle soit, est 
toujours trop grande pour pouvoir s’appli- 
quer à quelques-unes de leurs parties; la 
nécessité d’une mesure infiniment petite 
s'est, donc fait sentir , et a fait éclore la mé- 
taphysique des nouveaux calculs , sans les- 
quels , ou quelque chose d'équivalent, on 
aurait vainement tenté la mesure dgs lignes 
courbes. 
On avait déjà trouvé moyen de les con- 
traindre , en les asservissant à une loi qui 
déterminait l’un de leurs principaux rap- 
ports ; celte équation , l’échelle de leur 
marche, a fixé leur nature, et nous a permis 
de la considérer; chaque courbe a la sienne 
toujours indépendante , et souvent incom- 
parable avec celle d’un autre ; c est 1 espèce 
algébrique qui fait ici 1 office du nombre; 
et. 1 existence des relations des courbes , ou 
plutôt des rapports de leur marche et de 
leur forme, ne se voitqu a la faveur de celle 
mesure indéfinie , qu on a su appliquer a 
