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D’ARITHMÉTIQUE MORALE. 
je prendrai une ligne circulaire pour ce! U: 
imité , et je me trouverai par là en état de 
mesurer juste la circonférence du cercle , 
mais je ne pourrai plus mesurer le diamè- 
tre; et comme pour trouver la mesure exacte 
de la superficie du cercle dans le sens des 
géomètres , il faut nécessairement avoir la 
mesure juste de la circonférence et du diamè- 
tre, je vois clairement que dans cette suppo- 
sition comme dans l’autre , la mesure exacte 
de la surface du cercle n’est pas possible. 
C’est donc à cette rigueur des définitions 
de la géométrie qu’on doit attribuer la cli Hî— 
culte des questions de celte science ; et 
aussi nous avons vu que dès qu’on s'est dé- 
parti de cette trop grande rigueur , ou est 
venu à bout de tout mesurer, et de résoudre 
toutes les questions qui paraissaient insolu- 
bles ; car , dès qu’on a cessé de regarder les 
courbes comme courbes en toute rigueur , 
et qu’on les a réduites à n’être que ce qu’el- 
les sont eu effet dans la nature, des polygo- 
nes, dont les cillés sont indéfiniment petits, 
toutes les difficultés ont disparu. O 11 a rec- 
tifié les courbes, c’est-à-dire mesuré leur 
longueur, en les supposant enveloppées 
d mi fil inextensible et parfaitement flexible, 
qu’on développe successivement. Voyez 
Fluxions de Newton, page 131, etc., ‘et 011 a 
mesuré les surfaces par les mêmes supposi- 
tions , c’est-à-dire en changeant les courbes 
eu polygones , dont les côtés sont indéfini- 
ment petits. 
XXXIII. 
Une autre difficulté qui tient de près à 
celle de la quadrature du cercle , et de la- 
quelle on peut même dire que celte quadra- 
ture dépend , c’est l'incommensurabilité de 
la diagonale du carré avec le côté ; difficulté 
invincible et générale pour toutes les gran- 
deurs , que les géomètres appellent incom- 
mensurables; il est aise de faire sentir que 
toutes ces difficultés ne viennent que des dé. 
finirions et des conventions arbitraires qu’on 
a faites, en posant les principes de l’aritb- 
métique et clc la géométrie; car nous sup- 
posons en géométrie que les lignes croissent 
comme les nombres 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , etc. , 
c'est-à-dire suivant notre échelle d arithmé- 
tique ; et par une correspondance sous-en 
tendue de l'unité de surlace avec 1 unité 
linéaire, nous voyons que les surfaces des 
carrés croissent comme 1, 4, 9, 16, 25, etc. 
Par ces suppositions , il est clair que de la 
même façon que la suite l , 2 , 3 , 4, 5, etc., 
est l’échelle des lignes , la suite 1,4,9, H>, 
25 , etc. , est, aussi l'échelle des surfaces, et 
que si vous interposez dans cette dernière 
échelle d'autres nombres, comme 2, 3, 5, 
6, 7, 8, 10, 11 , 12, 13, 14, 15, 12, 18, 
19 , 20 . 22 , 23 , 24, tous ces nombres n’au- 
ront pas leurs correspondants dans l'échelle 
des lignes , et que par conséquent la ligne 
qui correspond à la surface 2 est une ligne 
qui n’a point d'expression eu nombres, et 
qui par conséquent ne peut pas êlre mesurée 
par l imité numérique. Il serait inutile de 
prendre une partie de l’unité pour mesure , 
cela ne change point l'impossibililé de 1 ex- 
pression en nombres ; car si l'on prend pour 
l'échelle des lignes 'h , 1 , 5 /> ,2 , s /« , 3 , ?/, ’ 
4 , etc. , on aura pour l'échelle correspon- 
dante des surfaces '/*, 1, s/«, 9, 4 Vi, 16, etc. , 
ou plutôt on aura pour l'échelle des lignes 
‘/a, Va, 3 /a, Va, 5 /a, 6 /a, Va, B /a , etC ; , C-t pour 
celles des surfaces 1 /!, Vi, ®Ai, '‘ 5 U, S6 / , F s /s, 
e V4, clc. , ce qui retombe dans le meme cas 
que les échelles 1 , 2 , 3,4,5, etc. , et I f 
4 , 9 , 16 , 25 , etc. , de lignes et de surfaces 
dont l’unité est entière; et il en sera toujours 
de même , quelque partie de l’unité que 
vous preniez pour mesure , comme Vs , ou 
Vs ou 'h, etc. , les nombres incommensura- 
bles dans l’échelle ordinaire le seront tou- 
jours, parce que le défaut de correspondance 
de ces échelles subsistera toujours. Toute la 
difficulté des incommensurables ne vient 
donc que de ce qu’on a voulu mesurer les 
surfaces comme les lignes ; or il est clair 
qu’une ligne étant supposée l’unité, vous 
ferez avec deux de ces unités une ligne dont 
la longueur sera double; mais il n’est pas 
moins clair qu’avec deux carrés , dont cha- 
cun est pris (le même pour l’unité, vous ne 
pouvez pas faire un carré. Tout cela vient de 
ce que la matière ayant trois différentes di- 
mensions ou plutôt trois différents aspects 
sous lesquels nous la considérons , il aurait 
fallu trois échelles différentes d’arithméti- 
que, l'une pour la ligne qui n’a que de la 
longueur, l’autre pour la superficie qui a île 
la longueur et de la largeur , et la troisième 
pour le solide qui a de la longueur , de la 
largeur et de la profondeur. 
XXXIV. 
Nous venons de démontrer les difficultés 
que les abstractions produisent dans les 
sciences ; il nous reste a faire voir 1 utilité 
qu’on en peut tirer, et à examiner 1 origine 
et la nature de ces abstractions sur lesquel- 
les portent presque toutes nos idées scienti- 
fiques. 
