196 ESSAI D’ARITHMÉTIQUE MORALE. 
dance sous-entendue de l’unité linéaire à l’unité de surface ou à l’unité 
de solide : par exemple, pour mesurer la surface d’un carré, il suffit de 
mesurer la longueur d’un des côtés, et de multiplier cette longueur par elle- 
même, car cette multiplication produit une autre longueur, que l’on peut 
représenter par un nombre qui ne manquera pas de représenter aussi la 
surface cherchée, puisqu’il y a le même rapport entre l’unité linéaire, 
le côté du carré et la longueur produite, qu’entre l’unité de surlace, la 
surface qui ne s’étend que sur le côté du carré et la surface totale, et, par 
conséquent, on peut prendre l’une pour l’autre; il en est de même des 
solides, et, en général, toutes les fois que les mêmes rapports de nombre 
pourront s’appliquer à différentes qualités ou quantités , on pourra toujours 
les mesurer les unes par les autres, et c’est pour cela qu’on a eu raison de 
représenter les vitesses par des lignes, les espaces par des surfaces, etc. , et 
de mesurer plusieurs propriétés de la matière par les rapports qu’elles ont 
avec ceux de l’étendue. 
L’extension en longueur se mesure toujours par une ligne droite prise 
arbitrairement pour l’unité, avec un pied ou une toise, prise pour l’unité ou 
mesure juste; une longueur de cent pieds ou de cent toises, avec un demi- 
pied ou une demi-toise prise de même pour l’unité ou mesure juste; cent 
pieds et demi ou cent toises et demie, et ainsi des autres longueurs : celles 
qui sont incommensurables, comme la diagonale et le côté du carré, font 
une exception. 
Mais elle est bien légitime, car elle dépend de l’incommensurabilité 
primordiale de la surface avec la ligne, et du défaut de correspondance en 
certains cas des échelles de ces mesures; leur marche est différente, et il 
n’est point étonnant qu’une surface double d’une autre appuie sur une 
ligne dont on ne peut trouver le rapport en nombres, avec l’autre ligne sur 
laquelle appuie la première surface; car, dans l’arithmétique, l’élévation aux 
puissances entières, comme au carré, au cube, etc., n’est qu’une multipli- 
cation ou même une addition d’unités; elle appartient par conséquent à 
l’échelle d’arithmétique qui est en usage; et la suite de toutes ces puis- 
sances doit s’y trouver et s’y trouve, mais l’extraction des racines, ou ce qui 
est la même chose, l’élévation aux puissances rompues, n’appartient plus 
à cette même échelle, et tout de même qu’on ne peut dans l’échelle denaire, 
exprimer la fraction que par une suite infinie °r|ooToo» etc -> on ne P eil * ; 
aussi exprimer les puissances rompues ou les racines £, f, etc., de 
plusieurs nombres, que par des suites infinies, et par conséquent ces racines 
ne peuvent être mesurées par la marche d’aucune échelle commune; et 
comme la diagonale d’un carré est toujours la racine carrée du double d’un 
nombre carré, et que ce nombre double ne peut lui-même être un nombre 
carré, il s’ensuit que le nombre qui représente celte diagonale, ne se trouve 
pas dans l’échelle d’arithmétique et ne peut s’y trouver, quoique le nombre 
