ESSAI D’ARITHMÉTIQUE MORALE. 203 
supposilions, c’esl-à-dire en changeant les courbes en polygones, dont les 
côtés sont indéfiniment petits. 
XXXIII. — Une autre difficulté qui lient de près à celle de la quadrature 
du cercle, et de laquelle on peut même dire que cette quadrature dépend, 
c’est l’incommensurabilité de la diagonale du carré avec le côté; difficulté 
invincible et générale pour toutes les grandeurs que les géomètres appellent 
incommensurables ; il est aisé de faire sentir que toutes ces difficultés ne 
viennent que des définitions et des conventions arbitraires qu’on a faites, 
en posant les principes de l’arithmétique et de la géométrie; car nous sup- 
posons, en géométrie, que les lignes croissent comme les nombres 1, 2, 3, 
4,5, etc., c’est-à-dire suivant notre échelle d’arithmétique; et, par une 
correspondance sous-entendue de l’unité de surface avec l’unité linéaire, 
nous voyons que les surfaces des carrés croissent comme 1,4, 9, 16,25, etc. 
Par ces suppositions, il est clair que de la même façon que la suite 1, 2, 3, 
4, 5, etc., est l’échelle des lignes, la suite 1,4,9, 16, 25, etc., est aussi 
l’échelle des surfaces, et que si vous interposez dans cette dernière échelle 
d’autres nombres, comme 2, 3, 5, 6,7, 8, 10, 11, 12, i3, 14,15, 17, 18, 
19, 20, 22, 23, 24, tous ces nombres n’auront pas leurs correspondants 
dans l’échelle des lignes, et que, par conséquent, la ligne qui correspond à 
la surface 2, est une ligne qui n’a point d’expression en nombres, et qui 
par conséquent ne peut pas être mesurée par l’unité numérique. Il serait 
inutile de prendre une partie de l’unité pour mesure, cela ne change point 
l’impossibilité de l’expression en nombres; car si l’on prend pour l’échelle 
des lignes f, 1, f, 2, f, 3, 4, etc., on aura pour échelle correspondante 
des surfaces j, l,f,^, 9,^, 16, etc., ou plutôt on aura pour l’échelle des 
lignes f, f, I, f, f, f f, etc., et pour celle des surfaces {, j, 
etc., ce qui retombe dans le même cas que les échelles 1, 2, 3, 
4, 5, etc., et 1 , 4, 9, 16, 25, etc., de lignes et de surfaces dont l’unité est 
entière; et il en sera toujours de même, quelque partie de l’unité que vous 
preniez pour mesure, comme {, ou f , ou etc.; les nombres incommen- 
surables dans l’échelle ordinaire le seront toujours, parce que le défaut de 
correspondance de ces échelles subsistera toujours. Toute la difficulté des 
incommensurables ne vient donc que de ce qu’ou a voulu mesurer les sur- 
faces comme les ligues : or, il est clair qu’une ligne étant supposée l’unité, 
vous ferez avec deux de ces unités une ligne dont la longueur sera double; 
mais il n’est pas moins clair qu’avec deux carrés, dont chacun est pris de 
même pour l’unité , vous ne pouvez pas faire un carré. Tout cela vient de 
ce que la matière ayant trois différentes dimensions ou plutôt trois diffé- 
rents aspects sous lesquels nous la considérons, il aurait fallu trois échelles 
différentes d’arithmétique, l’une pour la ligne qui n’a que de la longueur, 
l’autre pour la superficie qui a de la longueur et de la largeur, et la troi- 
