Unterredungen und mathematische Demonstrationen etc. 59 
es war schon bewiesen, dass diese Fallzeiten sich wie die Längen 
der entsprechenden Ebenen verhalten. Wir müssen noch unter- 
suchen das Verhältniss der in gleichen Zeiten längs Ebenen 
verschiedener Neigung und gleicher Höhe zurilckgelegten 
Strecken, also den Fall zwischen einander parallelen Horizon- 
talen, worarxf sich das Folgende bezieht. 
Theorem XV. Propos. XXIV. 
»Zwischen zwei einander parallelen Horizontalen sei eine 
Senkrechte gegeben, von deren unterstem Punkte eine Ebene 
errichtet sei. Nach dem Fall längs der Senkrechten ist die in 
derselben Fallzeit beim Anstieg zurückgelegte Strecke grösser 
als die Senkrechte und kleiner als das Doppelte derselben.« 
Zwischen den Horizontalen 
B C, HG (Fig. 84) sei die Senk- 
rechte AE und die Geneigte EB 
gezogen. Nach dem Fall durch 
AE geschehe ein Reflex in E nach 
B hin. Ich behaupte, die in der 
Fallzeit für AE längs EB zu- 
rückgelegte Strecke sei grösser, 
als AE und kleiner als 2 AE. 
Es sei ED gleich AE, und wie EB zu B D, so verhalte sich 
D B zu B F. Es werde zuerst bewiesen, dass der Punkt F in 
der Fallzeit längs A E erreicht werde, dann, dass EF grösser 
sei als EA, und kleiner als 2 EA. Es sei die Fallzeit längs 
AE gleich AE, alsdann ist die Fallzeit längs BE oder die 
Anstiegzeit längs EB gleich der Linie BE. und da DB die 
mittlere Proportionale zwischen EB, BF, und da BE die Fall- 
zeit längs BE ist, so ist B D die Fallzeit längs BF, und der 
Rest DE die Fallzeit längs des Restes FE. Aber ebenso gross 
ist die Fallzeit längs FE von der Ruhelage in B aus, und auch 
die Anstiegzeit längs E F, wenn der Körper in E mit der längs 
BE oder AE erlangten Geschwindigkeit ansteigt: mithin ist 
DE die Zeit, in welcher der Körper nach dem Fall von A längs 
AE, nach dem Reflex in B den Punkt F erreicht. Aber ED 
ist gleich AE. Und da EB zu B D, wie D B zu BF, so ver- 
hält sich auch EB zu BD, wie ED zu DF. Aber EB ist 
grösser als B D, folglich ist auch E 1) grösser als DF und EF 
kleiner als 2 DE oder als 2 AE; w. z. b. w. Ganz dasselbe 
gilt, wenn der anfängliche Fall nicht in der Senkrechten, sondern 
