Unterredungen und mathematische Demonstrationen etc. 65 
Theorem XX. Propos. XXXI. 
»Wenn über einer Horizontalen eine gerade Linie irgendwie 
geneigt liegt, so ist eine durch einen beliebigen Punkt der Hori- 
zontalen gelegte Ebene, längs welcher ein Körper in kürzester 
Zeit von einem Punkte jener Linie den Horizont erreicht, die- 
jenige, welche den Winkel zwischen denjenigen beiden Senk- 
rechten halbirt, die durch den genannten Punkt gezogen werden 
können, von welchen eine senkrecht zum Horizont, die andere 
senkrecht zur gegebenen Linie errichtet ist.« 
Es sei AB (Fig. 91) die Horizontale, CD die beliebig ge- 
neigte Linie. Im Horizonte sei der Punkt A beliebig angenom- 
men, von welchem aus AC senkrecht zu AB und AE senk- 
recht zu CD gezogen werde. Den 
Winkel CAE halbire die Linie AF. 
Ich behaupte, dass von allen Ebenen, 
die durch irgend welche Punkte von 
CD nach dem Punkte A hin gelegt 
werden können, FA diejenige sei, 
längs welcher der Fall bis A die 
kürzeste Zeit in Anspruch nimmt. 
Man ziehe FG parallel AE, alsdann 
sind GFA, FAE als Wechselwinkel 
einander gleich ; aber EAF ist gleich 
FAG, mithin sind die Dreiecksseiten 
FG, GA einander gleich. Wenn 
man also von G aus mit dem Radius GA einen Kreis beschreibt, 
so wird dieser durch F hindurchgehen und die Horizontale und 
die Gerade in A und .F berühren; denn G FC ist ein Rechter, 
da GF parallel AE gezogen wurde. Hieraus folgt, dass alle 
anderen nach der Geraden von A aus gezogenen Linien über 
die Peripherie des Kreises hinaus sich erstrecken, woraus dann 
weiter folgt, dass die entsprechenden Fallzeiten länger seien, 
als für FA, w. z. b. w. 
Hülfssatz. 
»Wenn zwei Kreise sich von innen berühren, während der 
innere Kreis von einer beliebigen Geraden berührt wird, welche 
den äusseren Kreis schneidet, so werden die drei Linien, die 
vom Contactpunkte der Kreise nach den drei Punkten der Be- 
rührenden, nämlich nach dem Berührungspunkte des inneren 
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