749 
punten wordt gesneden. De congruentie is dan van de eerste orde 
en de eerste klasje-, wij noemen haar kortheidshalve een bilineaire 
congruentie. 
Daar een y n der congruentie bepaald is door een rechte r van 
haar vlak cp, moeten alle vlakken </ door een vast punt 1' gaan, 
dat wij de pool zullen noemen. 
Een straal ƒ door F ( poolstraat ) draagt oo 1 vlakken ff; de daarin 
gelegen krommen y w vormen een oppervlak E van den graad (n-|-l), 
want elk punt van ƒ ligt slechts op één kromme y". 
Wij beschouwen nu de oppervlakken die bij de stralen ƒ 
en f' belmoren ; zij hebben de y" gemeen, die in het vlak {ff') ligt, 
en snijden elkaar verder in een kromme o van den graad {ri*-\-n- f-1;, 
welke door F gaat. l ) 
Door een punt S van o gaan twee krommen y M , waarvan de 
vlakken achtereenvolgens de rechten ƒ en f bevatten. S is dus een 
singulier punt, ligt derhalve op oo 1 krommen y ,! . De vlakken dezer 
y ,! vormen den bundel met as FS; de krommen zelf liggen op een 
2 n + l , dat in S een dubbelpunt heeft ; immers een rechte door S 
ontmoet 2 n + l in {n — 1) buiten S gelegen punten. 
Zij nu ƒ" een willekeurige straal door F, s = FS een bisecante 
der kromme o ; de y" in het vlak ( f"s ) gaat door S. Het bij ƒ " be- 
hoorende oppervlak ^ bevat dus de kromme o, en deze is basis- 
kromme van het net, dat door de oo 2 oppervlakken 2 wordt gevormd. 
De y", die door een willekeurig aangenomen punt F wordt bepaald, 
vormt met o de basis van een tot het net behoorenden bundel. 
Een y n kan een willekeurig oppervlak X>+' slechts in singuliere 
punten S ontmoeten; zij rust dus in n (?z — [— 1 ) punten op de singu- 
liere kromme ö' i *+"+ 1 , terwijl haar vlak o nog in de pool F snijdt. 
Een bilineaire congruentie [ y n ] bestaat dus uit de krommen y n , 
welke een ruimtekromme van den graad {n,‘‘ -j- n -f- 1) in n {n -j- 1) 
punten snijden en hun vlakken door een vast punt dier kromme 
zenden . 2 ) 
De kromme o kan voorgesteld worden door 
a n 
b n 
C n 
X 
X 
X 
ff-x 
1% 
Yx 
b a is van den rang n(2n 2 + n-j-l) en het geslacht \n{n — 1) (2n — (- 1) ; zij 
zendt \ n 2 (w 2 + 1) bisecanten door een punt. 
2 ) Voor n = 2 is dit aangetoond door Montesano („Su di un sistema lineare di 
coniche nello spazio”, Atti di Torino, XXVII, p. 660 — 690). Godeaux is tot de 
congruentie [y«] gekomen door te vragen naar lineaire congruenties van y» van 
het geslacht % (n — 1) (w — 2), die een singuliere kromme bezitten, waarop de 
