(L) 
alwaar 
859 
{qx 2 -\-2plxy—(2p-\-q)y 2 -^2p} i = s{^ 4 — 2(2p-\- l)/B*y*+y^}, 
« = <? 2 — p (4r -|- 1-). 
§ 2. Uit de zooeven gevonden vergelijking blijkt, dat uit den 
oorsprong 4 dubbelraaklijnen aan (L') kunnen worden getrokken, 
gegeven door : 
•U - 2 (2 p + 1) -f y 4 = 0. 
De 8 raakpunten liggen op de kegelsnede : 
( K ) + 2plxy — (2 p + q)y* + 2p = 0. 
De dubbelraaklijnen zijn tegelijkertijd bestaanbaar of onbestaan- 
baar, al naar gelang p positief of negatief is. Zij vormen twee paar 
onderling loodrechte lijnen, symmetrisch gelegen ten opzichte van 
de assen en ten opzichte van de rechten, die de assenhoeken bal- 
veer en. 
Heeft nu (K) hare assen langs de coördinatenassen of langs de 
halveeringsrechten, dan zal {L') en derhalve ook [L) die lijnen tot 
lijnen van symmetrie hebben. Het eerste heeft plaats voor 1=0, 
het tweede voor p -f- q = 0. Deze twee onderstellingen geven dus 
aanleiding tot dezelfde vereenvoudiging in de gedaante van (L). In 
het vroeger uitvoerig besproken geval dat zoowel 1 = 0 als p -(- q — 0 
is, wordt (K) een cirkel met (/2 tot straal. 
§ 3. Dubbelpunten van (L). Schrijft men de in § 1 gevonden 
vergelijking van {L') in de gedaante 
U 2 = MN, 
waarin 
u _ gN -f 2 plxij - (2 p -f g),/ 1 -f 2 P 
l/s 
en M en N uitdrukkingen van den tweeden graad zijn, verkregen 
door ontbinding van de uitdrukking x* — 2[2p -)- l)x*y* -)- y\ dan 
ziet men, dat {L') in 4 punten wordt aangeraakt door iedere kegel- 
snede van het stelsel 
X 2 M -f 2 XU.+ N= 0, 
waarin a een parameter voorstelt. 
De ontbinding van de genoemde uitdrukking kan op de volgende 
wijzen geschieden : 
« 4 — 2(2 p + l)«y + y 4 = (« 2 + 2 [/p xy—y 2 )(x 2 — 2[/p xy—y 2 ) 
= (x 2 -f 21 /p + 1 xy -f y 2 ){x 2 ~2\/pNlxy^if ) 
= y— (1/2 p + 1 - 2\/p(p + l))y 2 | [v 2 — 
—(1/ 2p -p 1 -f 2 1 / p(p + l))y 2 }. 
58 * 
