862 
Voorts van den aard der kegelsnede (K), welke een ellips kan 
zijn, een hyperbool of een degeneratie. 
Ten slotte van de bestaanbaarheid der asymptoten. 
Nu kunnen we bewijzen, dat (Lj evenveel bestaanbare asymptoten- 
richtingen heeft als zij paren bestaanbare snijpunten heeft met (C). 
Zij (cos a, sin a) het punt van (C), dat op (Lj gelegen is, dan hebben we : 
\q cos 2 .a -(- 2 pl cos a sin a — (2 p -f- q) sin 2 a -j- 2pj 2 — 
= s {cos 4 a — 2 (2 p 1) cos 2 a sin 2 a -j- sin 4 «]. 
Schrijven we dit in den vorm : 
\q sin 2 a — 2 pl cos a sin a — (2 p -(- q ) cos 2 af = 
= s { sin 4 a — 2 (2 p 1) cos 2 a sin 2 a -\- cos 4 a\ 
dan blijkt eruit, dat 
y = — x cotg a 
een asymptotenrichting is van (Lj. 
Raakt (Lj aan (C), dan vallen twee asymptoten richtingen samen ; 
zij staan loodrecht op de lijn, welke O met' de raakpunten verbindt. 
§ 6. (K) is een ellips. 
1°. p j> 0, dus de dubbelraaklijnen uit O zijn bestaanbaar. Zij 
snijden (K) in bestaanbare punten, in welke punten zij (L') raken. 
De dubbelraaklijnen verdeden het platte vlak in 8 hoeken, in welke 
If =x 4 -2(2p + l)x- f +y 4 
afwisselend positief en negatièf is. (Lj ligt voor positieve waarden van 
s = f —p (4 r + lj 
in de hoeken, waar Ji 4 positief is. 
Noemen we de takken van (Lj, welke in het eene paar overstaande 
hoeken gelegen zijn, a, die, welke in het andere paar gelegen zijn, b. 
Beginnen we aan s positieve waarden toe te kennen en beschouwen 
we eerst uitsluitend a. 
Voor s —■ go degeneratie in twee dubbelraaklijnen. Voor groote 
waarden van s bestaat a uit één trek met 2 asymptoten en 4 buig- 
punten. Voor afnemende waarde van s wordt de hoek tusschen de 
asymptoten kleiner, de toppen verwijderen zich van elkaar en de 
buigpunten gaan naar het oneindige. Voor een bepaalde waarde 
van s zijn de asymptoten evenwijdig. Neemt s verder af, dan gaat 
a bestaan uit twee gesloten takken, waarin voor een andere bijzondere 
waarde van s vlakke punten optreden in de naar O gekeerde zijden. 
Vervolgens verschijnen in iederen tak twee buigpunten en trekken 
