zich de takken samen, tot we voor s = 0 degeneratie hebben in de 
ellips (K ) 1 ). 
Wanneer we s laten veranderen van oo tot 0 doorloopt b gelijke 
vormverandering. Beschouwen we echter a en b samen, dan zullen 
in het algemeen de bijzondere waarden van s, waarvoor twee asymp- 
totenrichtingen samenvallen, en die, waarvoor vlakke punten optreden, 
voor a en b niet dezelfde zijn. 
Letten we op hetgeen in § 5 is opgemerkt aangaande de asymp- 
totenrichtingen van (L') en hare snijpunten met (C), dan blijkt, dat 
we de volgende gevallen hebben te onderscheiden, welke in tig. L 
zijn voorgesteld (met uitzondering van het 3 de ) : 
1. a en b snijden beide ( C ); zij hebben ieder twee snijdende 
asymptoten. 
2. a raakt (C), b snijdt (C); a heeft twee snijdende, b twee 
evenwijdige asymptoten. 
3. a ligt buiten (C), b snijdt (C) ; a heeft twee snijdende asymp- 
toten, b bestaat uit gesloten takken. 
4. a ligt buiten (C), b raakt (6’); a heeft twee evenwijdige 
asymptoten, b bestaat uit gesloten takken. 
5. a en b liggen beide buiten (C) ; beide bestaan uit gesloten takken. 
Hierbij hebben we nog niet gelet op de aanwezigheid of afwezigheid 
van de buigpunten in de gesloten takken; het aantal gevallen zou 
hierdoor vergroot worden. 
Het is duidelijk, dat er een waarde van s bestaat, beneden welke 
in de gesloten takken a en h buigpunten voorkomen. Dan zijn alle 
28 dubbelraaklijnen van (L') bestaanbaar. 
We hebben thans aan s alle positieve waarden toegekend; voor 
negatieve waarden van s ligt (L') in de andere vier hoeken. Draaien 
we het assenstelsel 45°, dan krijgen we dezelfde gevallen terug. 
De waarde van p bepaalt de ligging der dubbelraaklijnen. Voor 
grooter wordende waarden van p bewegen zij zich naar de assen, 
voor kleiner wordende waarden van p naar de lijnen, die de assen- 
hoeken halveeren. De limietgevallen zullen we afzonderlijk hebben 
te beschouwen. 
§ 7. 2°. p 0, dus de dubbelraaklijnen uit O zijn onbestaanbaar. 
b Het geval s = q~ — p (4 r + l~) = 0 moet afzonderlijk onderzocht worden. Immers 
is cp — p (4 r + / 2 ) = 0 de voorwaarde, dat in het tweede lid der betrekking tusschen 
£ en tp (p. 858) de wortel kan worden getrokken. In dit geval stelt ( A ') twee bundels 
ellipsen voor. Derhalve is de gevraagde omhullende (L) thans gedegenereerd in 
8 rechte lijnen, welke de poollijnen zijn van de basispunten der bedoelde bundels, 
en in (K'), welke de poolkromme van (K) is. 
