874 
tot middelpunt hebben, gaan door liet punt P, dat toegevoegd is aan 
den gemeenschappelijken straal dier waaiers. Elk punt B, dat zij 
verder gemeen hebben, is aan twee verschillende stralen p toegevoegd, 
dus een singulier punt en tevens een fundamentaal punt der (P. p). 
De puntenparen (F, F'), die met B driehoeken L vormen, liggen 
op een kromme (B), welke B tot (in — ljvoudig punt heeft, als haar 
graad m ie ; wij noemen B dan een singulier punt van de nd orde. 
Op deze rationnle kromme vormen de paren (P, F') een quadrati- 
sche involutie, waarin B tot (ra— 1) paren behoort ; de rechte p ~ P' P" 
omhult dus een inv olutie.hr omme van de klasse (ra — 1). 
Hieruit volgt dat B in de doorsnijding der beide krommen (/ J )" 
voor (m — l) 2 snijpunten moet geteld worden, zoodat het aantal 
punten B heeft te voldoen aan 
— (ra. — l) 2 = rd — 1 (2) 
4. De involutie (P 3 ) kan ook singuliere punten A hebben, waar- 
voor de ]i linten paren (P, F') een involutie 7 2 op een rechte n vormen; 
deze is dan singulier voor de involutie (p x ) en de paren (p', p") be- 
lmoren tot een straleninvolutie met middelpunt A: o en A noemen wij 
singulier, van de eerste orde. De paren [A, a) zijn blijkbaar niet 
fundamentaal voor de verwantschap ( P, p)\ hun aantal duiden wij 
aan door u. Als n.—A is, zooals voor de involutie van Rkyk, (zie 
§ 1) dan zijn er slechts singuliere punten en rechten van de eerste 
orde; immers nu is n 1 — 1=0. 
Beschouwen wij thans de krommen p n + 3 en n"+ 3 behoorende bij 
de rechten r en s. Een snijpunt F van r met o bepaalt een invo- 
lutiedriehoek, waarvan een tweede hoekpunt' F' op s ligt; F' is 
dus een snijpunt van s met o. Het derde hoekpunt P ligt derhalve 
op de beide krommen, o en o. Deze hebben ook het puntenpaar 
gemeen dat met het punt rs een drietal der (Z JS ) vormt. De overige 
snijpunten van p en <> liggen in singuliere punten A en B, want zij 
belmoren ieder tot twee involutiedriehoeken. waarvan de eene een 
hoekpunt op r, de andere een hoekpunt op s heeft. 
Daar de singuliere kromme (/>)'" elk der rechten r, s in m punten 
snijdt, hebben p en o in B een m-voudig jmnt. De getallen m moe- 
ten dus voldoen aan de betrekking (y/— )— 3) a =(yz— )— 3)— (— 2— f-«— j— ISnd of 
« + = (np l)(« + 4) (3) 
Op overeenkomstige wijs komt men tot de betrekking 
« + — = (n + 1) (n + 4) (4) 
Uit de vier gevonden betrekkingen 3 ) volgt nog 
J ) In mijn vertiandeling „Men quadrupelinvolutie in het platte vlak''. (Deze 
Verslagen deel XIX, hl. 52) heb ik een (P‘) beschouwd, welke een singulier punt 
