875 
Sm" rrr Sg" (5) 
S(m-iy = S(g- iy, (6) 
dus 
S(2m — 1) — S(2g — 1) (7) 
en 
a -J- S(2m—\) — §(n-\-\) (8) 
5. De punten P',P", waarvan de verbindingslijn p door een punt 
E gaat, liggen op een kromme P, die in E een dubbelpunt heeft, en 
daar aangeraakt wordt door de rechten EE' , EE". 
Is E een singulier punt B, dan bestaat deze kromme blijkbaar 
uit (77)'" en een kromme van den graad (4 — m). Hieruit blijkt, dat 
m hoogstens vier kan zijn. Is m = 3, dan ontaardt P in (B) 3 en een 
singul leve redt te. 
Door E gaan zes raaklijnen p naar P ; ieder dezer rechten draagt 
een eoincidentie der involutie (P 3 ). Zulk een rechte behoort tot een 
groep der involutie (p 3 ), waarin p" is vereenigd met p' . De coïnci- 
denties van (yt 3 ) omhullen een kromme y 3 van de derde klasse, dua- 
listisch overeenkomende met de kromme y 3 , welke de coïncidenties 
van (P 3 ) bevat. Door complementaire kromme zullen wij verstaan de 
omhulde der rechten p, die met de coïncidenties der (y> 3 ) drietallen 
vormen. Uit het boven gezegde volgt dus, dat de complementaire 
kromme der (p s ) van de zesde klasse is. 
Analoog vindt men een complementaire kromme van den zesden 
graad, y.\ als meetkundige plaats van de punten I ) , die de coïnci- 
denties der (P 3 j tot drietallen aanvullen. Zij heeft dubbel punten in 
alle singuliere punten van (P 3 ), want elke kromme (B) m en elke 
rechte a draagt Iwee coïncidenties, die drietallen vormen met het 
overeenkomstige singuliere punt. 
Daar de kromme (P)" ! in B een (m — ljvoudig punt heeft, gaat 
de eoïncidentiekromme y"+' ook {m— l)maal door B. Dus hebben 
y"+‘ en buiten de punten B nog 6(n - f- Ij — ‘2 Sim — i) punten 
gemeen ; maar deze moeten twee aan twee samenvallen in een punt 
waar de beide krommen elkaar raken, waar dus de drie punten 
van een groep der (P s ) samengevallen zijn. 
Nu is 
26 = 6(n -j- 1) — 2 S(m — 1) = 6(n -|- 1) — S(2m — 1) -j- 
als d het aantal punten B aanduidt. 
Met behulp van (8) vindt men nu verder 
26 = (n -f 1) + cc 4- d- 
van de vierde orde en zes singuliere punten van de tweede orde bezit. In overeen- 
stemming met de bovengevonden formules werd daar n = 4 gevonden. 
59 * 
