879 
Door een punt S van g 1 gaan go 1 krommen 7J zij liggen op de 
hyperboloïde H\ welke door *$, G, (F, g 2 , g, bepaald wordt. Alle 
op PP 1 gelegen krommen <p s gaan tevens door het punt /S v , waarin 
IP nog door g i gesneden wordt. 
Tot \tp s ] behoort de figuur gevormd door h lt en een kegelsnede 
van den bundel, die in het vlak (G*g 3 ) door de doorgangen van 
</„ c/. 2 , h 12 en het punt 6r* bepaald is. Er zijn blijkbaar nog 5 analoge 
bundels van kegelsneden. 
Beschouwen wij nu het oppervlak A gevormd door de <p , die de 
rechte I ontmoeten. Door elk der beide snijpunten van l en JP gaat 
een <p , die g x in 5 snijdt. Hieruit volgt, dat de drie rechten gj. 
dubbellijnen zijn van A. De rechten hki,h*u liggen op A, want / 
ontmoet b.v. een kegelsnede van den in hef vlak (G*g s ) aangewezen 
bundel, en deze vormt met h 12 een <p . 
Wij bepalen den graad van A door na te gaan, waaruit de door- 
snede met het vlak (Gg x ) bestaat. Hiertoe belmoren 1) de dubbel te 
tellen rechte g x , 2) de kegelsnede in dat vlak, welke op / rust en 
door h 2 f tot een </y wordt aangevuld, 3) de rechten h l2 en h l3 , 
die bestanddeelen zijn van twee ontaarde y :! , waarvan de kegelsnede 
op I rust. Hieruit blijkt, dat A van den zesden graad is. 
10 . Wordt de congruentie jy/Aj met een vlak <p gesneden, dan 
ontstaat een kubische involutie (Z 33 ), welke de doorgangen der rechten 
gic, likt en h; c p tot singuliere punten heeft. Met den doorgang Bk van 
ƒ//■ komen n.1. overeen de doorgangen der </\ welke <p reeds in B/ c 
snijden ; zij liggen, zooals we zagen, op den doorgang {B/ c y der bij 
Bt behoorende hyperboloïde H. Met den doorgang A L van h 23 komt 
overeen de / 2 op den doorgang a t van het vlak (G*gd, afkomstig 
van den kegelsnedeidmndel ij 1 dat vlak, enz. 
Op (/ij 2 liggen de doorgangen van //i, g,., g 3 , A 23 en /t 23 *, d.w.z. de 
punten Zij, ZZ 2 , B 3 , A l en Ap ; op den doorgang a l van het vlak 
{&*(/!) vinden wij de doorgangen B x , Ap en *1/ van g x , Zt la * en h x *. 
Met de punten P van de in r/ gelegen rechte l kotrien overeen 
de puntenparen P', F' gelegen op de kromme van den vijfden graad, 
welke 7 nog gemeen heeft met het oppervlak A s ■ deze kromme 
gaat door de punten Ap, . ly; ; en heeft de punten Bj, tot dubbelpunten. 
Wij vinden dus een kubische involutie, dte dezelfde eigenschappen 
bezit als de voorheen beschouwde kubische involutie ( I n ). 
11 . Wij zullen nu nog het geval beschouwen, dat het vlak 7 gelegd 
wordt door een rechte c, die op g x ,g 2 ,g 3 rust, en deze rechte inde 
punten snijdt. De drie door deze punten bepaalde hyper- 
