881 
Liggen evenwel de punten Gk op de stralen FFi - , dan hebben 
de ontaarde kegelsneden (EF X , F^F Z ) en (FG X , G.,(F) de rechte 
h 1 = F 1 G 1 en het punt (F., F-,, G,G a ) gemeen; nu is H x een 
singulier punt, dat met alle punten van h x overeenkomt, dus in 
hetzelfde geval verkeert als het bovengenoemde punt C. En nu zijn 
er nog tw ee dergelijke punten, // 2 = (F, /% , G\ G a ) en // 3 = (F X F. 2 ,G X GrJ. 
Terwijl, bij willekeurige ligging der punten F en G, met een 
rechte r overeenkomt een <> 7 , die viermaal door F en tweemaal 
door Ff-, Gk gaat, ontaardt deze kromme thans in de drie rechten 
hj. = Ff-Gk en een o', die een dubbelpunt heeft in het derde hoek- 
punt D van den involntiedriehoek, waarvan r een zijde is. Op 
deze q 4 liggen F' en F" nu weer collineair met IJ, zoodat n = 1 is. 
Plaatst men G x op FF, en G 2 op EF ! , dan vindt men een 
bijzonder geval van een (P 3 ), waar n = 2 is. De kromme p 7 verliest 
nu alleen de rechte stukken Zt, en h 2 , wordt dus een o 5 , die dubbel- 
punten heeft in F, F. v G x en ]J-, op deze quadrinodale </' vormen 
(F' , P 1 ') weer de parenin vol utie, zoodat n = 2 blijkt te zijn. De 
singuliere punten der tweede orde zijn F, P 3 , G 3 , de singuliere punten 
der eei'ste orde zijn F t , G x , G s , //j, // s ; maar de laatste twee 
zijn resp. aan alle punten van h, en h 3 toegevoegd, terwijl met elk 
der eerste vier een quadratische in vol utie overeenstemt. 
13 . Ij i het geval n= 3 hebben wij de betrekkingen 
— (m — l ) 2 = 8 en a 4 - Fm' 1 5 = 28. 
Aan de eerste kan op drie wijzen voldaan worden, want 
8 = 2 X 2 2 = 2 2 + 4 X l 2 = 8 X Pk 
Maar de eerste oplossing moet terstond ter zijde gesteld worden. 
Immers, door (F, P') wordt een rechte r omgezet in een o" ; voor 
de verbindingslijn van twee singuliere punten der 3 de orde zou o" 
de beide overeenkomstige krommen {Bf tot bestanddeelen hebben; 
maar dan zou er geen figuur zijn, die overeenkwam giet de overige 
punten der bedoekte rechte. 
Ook de derde oplossing moet verworpen worden, want voor 8 
singuliere punten der tweede orde zou men hebben u-j-8X'2" = 28, 
dus « = — 4. 
Dus blijft over voor nader onderzoek het samenstel van een 
singulier punt van de 3 de orde en vier singuliere punten van de 
2 de orde; wij zullen ze door C en BfJJc — 1,2, 3,^ 4) aanduiden. Daarbij 
komen dan nog drie singuliere punten der eerste orde Ai-. 
Verder zijn er dan drie singuliere rechten der l slu orde, aj-, vier 
singuliere rechten der tweede orde en een singuliere rechte der 
derde orde. 
