1 047 
Wiskunde. De heer Hk. de Vries biedt, mede namens den heer 
G. Schaake, eene mededeeling aan : „Over de singuliere op- 
lossingen van gewone en partieel e differentiaalvergelijkingen van 
de eerste orde ”, 
Inleiding. Stelt men de complete integraal eener partieele differen- 
tiaalvergelijking van de eerste orde in twee onafhankelijk ver- 
anderlijken, F {x,y,z,p,q) = 0, voor door ƒ \x,y,z,c^,cd = 0, en noemt 
men het eliminatieresultaat van c l en c 2 nit de drie vergelijkingen : 
/=0 
ö/ 
dCj 
df 
de. 
= 0 
kortheidshalve E — 0, dan kunnen zich de volgende eigenaardige 
verschijnselen voordoen. Bezit de algemeene oplossing f{x,y,c)~ 0 
eener gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde F(x,y,p) = 0 
eene meetkundige plaats van dubbelpunten, dan behoort deze in het 
algemeen wèl, en slechts in één bijzonder geval niet tot het elimi- 
natieresnltaat van c uit de beide vergelijkingen 
3 f 
/ = o , ■ = o ; 
ÖC 
bij de partieele vergelijkingen is dit juist andersom, althans indien 
hier de meetkundige plaats der dubbelpunten uit een of meer 
krommen bestaat; is er een oppervlak van dubbelpunten, dan behoort 
dit nu in het algemeen weer wèl tot E = 0, hoewel de mogelijkheid 
niet is uitgesloten dat het er niet toe behoort. 
Het spreekt van zelt dat alle mogelijke gevallen langs zuiver 
analvtischen weg te bereiken zijn ; maar het blijkt dat beschouwingen, 
ontleend aan de meerdimensionale meetkunde, die verschillende 
analytische mogelijkheden bijzonder scherp belichten, en de ver- 
schillen als het ware vergrooten en essenlieeler maken ; dit aan tc 
toonen is het doel der volgende paragraphen. 
§ J. Laat allereerst gegeven zijn eene gewone differentiaalverge- 
lijking van de l e orde 
F G', y, p) — 0, 
met de algemeene oplossing f{x,y,u)~- 0 (wij stellen met liet oog 
op de zoo straks te geven meetkundige interpretatie de willekeurige 
constante door u voor), dan stelt het eliminatieresultaat E= 0 van 
de meetkundige plaats van die [Hinten iu het x y-vlak voor, voor 
welke de vergelijking f(cc,y,u) = 0, opgevat als eene vergelijking in 
