u, een dubbelen oi meervoudigen wortel bezit, dus de in.pl. van die 
punten, door welke één particuliere integraal minder gaat dan door 
een willekeurig punt (indien wij ons tot een dubbelen wortel be- 
palen); het ligt nu voor de hand te vermoeden dat een punt, dat 
dubbelpunt eener bepaalde particuliere integraal is, tot deze m.pl. 
zal belmoren, omdat immers de kromme met liet dubbelpunt twee- 
maal dooi' dat punt gaat, doch in het algemeen is dit onjuist, zoo- 
als reeds uit zeer eenvoudige voorbeelden blijkt. De vergelijking 
— y‘ 2 — 2x {(c—yp) = K 2 — 2 (x — yp) 2 
heeft tot aigemeene oplossing 
•v 2 — y 2 — 2 ax — K 2 — 2a 2 , 
waarin a de willekeurige constante voorstelt, een stel gelijkzijdige 
hyperbolen dus. Het eliminatieresnltaat E van a uit deze laatste 
vergelijking en hare partieele afgeleide naar a geeft : 
E = x*-2y 2 --2R t = 0, 
en dit is werkelijk de omhullende der gelijkzijdige hyperbolen. 
ö ƒ „ . df 
Stelt 
men nu = 2x- 
dx 
i — 0 , en = — 2y = 0 , dan vindt 
öy 
men dat het punt x = a,y = 0 een dubbelpunt is voor de particuliere 
integraal die bepaald wordt door aan a bijv. de waarde R toe te 
kennen, dus voor het lijnenpaar 
(x — Ry — y 3 0 ; 
maar het dubbelpunt x = R, y = 0 ligt blijkbaar niet op E. En in- 
derdaad, door het punt x = R,y = 0 gaat niet slechts de particuliere 
integraal a = R, doch ook • a = 0 (x‘ 2 — y 2 — R 2 ), d.w.z. tw ee, even- 
als door een willekeurig punt. 
Welke gevolgen heelt dit voor de differentiaalvergelijking? 
Door deze naar /> op te lossen vindt men voor ieder punt de 
raaklijnen der integraalkrommen die door dat punt gaan, in ons 
geval dus 2; maar in het punt x = R,y = 0 moeten wij er nu 3 
vinden, nl. de beide 45°-lijnen en de lijn evenwijdig aan de y-as ; 
de differentiaalvergelijking moet dus hier identisch verdwijnen, wat 
bij substitutie inderdaad ook onmiddellijk blijkt. 
§ 2. Een punt dat voldoet aan de drie vergelijkingen 
f{x,y,i() — 0 
0/ 
— 0 
df 
dy 
= 0 
is een dubbelpunt voor eene bepaalde integraalkromme ; wij vragen 
wanneer dit punt bovendien voldoet aan 
a/ 
