1049 
dus tot E= 0 behoort, Differentieeren wij ƒ = 0 partieel naar x en //, 
dan vinden wij : 
df dfdu 
dx du do: 
df dfdu 
dy du dy 
■ — 0 
I 
0 . 
Nu behoeft, indien 
df df r df 
— = — =0,.— natuurlijk niet nul te zijn, 
do: dy du J 
immers — en kunnen nul zijn, en dit laatste is het normale geval 
ö,® dy 
(vgl. ook de meetkundige toelichting in § 3). Stel nl. dat in een 
bijzonder geval wei =0 is, dan kunnen wij gemakkelijk een 
du 
ander stel krommen bepalen waarbij zulks niet het geval is ; men 
heeft slechts de vergelijking f(a:,y,u) = 0 te vervangen door 
<p (x,yyi) = j(x,y,u) g(u) = 0, 
waarbij g{u) eene functie voorstelt die zelve nul is voor die bijzondere 
waarde van u die in het stel ƒ= 0 de kromme met het dubbelpunt 
oplevert, terwijl hare afgeleide <f{u) voor diezelfde waarde niet nul 
is. Het is duidelijk dat het stel krommen rp = 0 met ƒ = 0 de 
kromme met het dubbelpunt gemeen heeft, want voor de u van dit 
d f df d f dj 
do; dx ' dy dy 
df 
du 
Tot geheel andere uitkomsten echter komen we indien het stel 
f= 0 eene meetkundige plaats van dubbelpunten bevat. Op deze 
ni.pl. zijn ?/ en u nl. functies van x, omdat door x niet slechts één 
of meer punten dezer m.ph, doch tegelijk de waarden van u bepaald 
moeten zijn waardoor de integraalkrommen aangewezen worden vooi 
welke die punten dubbelpunten zijn. hu aangezien de waarden \nn 
x, y en u, die door de m.pl. aan elkaar toegevoegd worden, tevens 
voldoen aan ƒ= 0, kunnen we zeggen dat vooriederpuntdierm.pl. 
df df dy dfdu 
jL v — : — [_ _ = ü. 
dx dy dx du do; 
punt is ([ — ƒ, 
-j- g'(u), en als nu 
, . ör/ df 
daarentegen is ^ = v d~ 
du du 
dtp 
0 is, is — =|- 0. 
du 
Zijn nu — en -- beide nul, en is j _|— cc, wat toch in ieder geval 
J ö.r dy dx 
slechts in enkele punten kan voorkomen, en ook daar nog door 
draaiing van het coördinatenstelsel te vermijden is, dan moet dus 
