1050 
df du 
du dx 
df 
zijn. Nu zal — = 0 hei nonnale geval zijn, d.w.z. de m.pl. der dub- 
belpunten zal in den regel tot E= 0 beboeren; immers indien dit 
du 
niet zoo is moet — = 0, en dus u = constant zijn langs de m.pl., 
hetgeen zeggen wil dat die m.pl. eene dubbel tellende particuliere 
integraal is. Het is echter niet uitgesloten dat en — beide nul 
du dx 
zijn; ook dan is er eene dubbel tellende particuliere integraal, die 
nu echter wèl tot E = 0 behoort, en het verschil tusschen dit geval 
en het voorgaande, waar we toch ook met eene dubbel tellende 
particuliere integraal te maken hadden, is niet bijzonder sprekend. 
De meetkundige toelichting der volgende § geeft hier het gewenschte 
licht. 
§ 3. Indien wij den parameter u als eene derde coördinaat be- 
schouwen, stelt onze vergelijking f (.v,y,ic) = 0 een oppervlak voor; 
de doorsneden u — const. geven, geprojecteerd op het ar?/-vlak, de 
verschillende infegraalkrommen. De in het «ry-vlak gelegen kromme 
h = 0 bevat nu blijkbaar alle punten van de eigenschap dat de 
rechten, door die punten evenwijdig aan de u - as getrokken, het 
oppervlak in twee samenvallende punten snijden; zij bevat dus: 
1 ) den schijnbaren omtrek van het oppervlak voor het oneindig 
verre punt der u - as als lichtend punt, en dit is blijkbaar de singu- 
liere integraal ; 
'2”) de projectie eener eventueele dubbel- of keerkromme van het 
oppervlak, zóódanig gelegen dat ieder vlak u = const, haar in een 
zeker aantal punten snijdt; het stel krommen ƒ= 0 bevat dan eene 
rn.pl. van dubbel- of keerpunten zóódanig dat elke integraalkromme 
één of meer van die punten bevat; 
3°) de projectie eener eventueele dubbel- of keerkromme, die in 
een vlak u = const. gelegen is; dan telt ééne integraalkromme dub- 
du 
bel, zoodat = 0 is (zie § 2), terwijl tevens — = 0 is ; 
dx ' om 
4°) de projecties van eventueele kegeipunten van het oppervlak; 
in dit geval wordt aan de beide vergelijkingen I van § 2 voldaan 
door 
ö/ df _ df __ du du 
dy du ’ dx 6,1 d^~ l=0 ’ 6,1 dG P unten in kwestie 
dx 
zijn dubbelpunten van E. 
