1 05 1 
Nu zijn er échter in het algemeen een aantal raakvlakken aan 
het oppervlak aan te brengen loodrecht op de u- as; deze snijden 
het oppervlak elk volgens eene kromme met een dubbelpunt in het 
raakpunt, maar aangezien dit dubbelpunt niet tevens een dubbelpunt 
van het oppervlak zelf is, zal zijne projectie in het algemeen niet 
op E liggen; wij hebben dus nu integraalkrommen met dubbelpun- 
ten, die niet tot E belmoren ; in de vergelijkingen I van § 2 is 
df ö/' du du df 
— jL — — — = (), maar — =|=0. En wanneer zulk een dub- 
dx dy dx dy du 
belpunt ten slotte toch tot E behoort, dan komt dit omdat de pro- 
jecteerende rechte van het raakpunt op het oppervlak dat oppervlak 
bijv. op een andere plaats aanraakt, of toevallig in een punt van 
eene dubbel- of keerkromme snijdt; het dubbelpunt der integraal- 
kromrne is dan echter een enkelvoudig punt van E. 
Ten slotte is nog iets anders mogelijk. Een raakvlak loodrecht op 
de w-as kan, in den trant van de beide singuliere raakvlakken van 
een ring, oneindig veel raakpunten hebben ; dan telt een zekere 
integraalkromme dubbel, echter zonder dat er de geringste aanleiding 
bestaat waarom zij tot E zou belmoren ; immers de raakpunten op 
het oppervlak zijn 
enkelvoudige 
punten. 
Wij hebben 
du 
dan — = 0, 
dx 
maar zonder dat, zooals sub. 3°), 
tevens 
df 
du 
= 0 is. 
§ 4. Overgaande tot de partieele differentiaalvergelijkingen stellen 
wij de complete integraal van F{x,y,z,p,q ) = 0 voor door f(x,y,z,u,v) 
= 0; zij bepaalt een stel van cc 2 integraaloppervlakken. 
Eliminatie van u en v uit de vier vergelijkingen 
df df df 
f= o . f-= 0 , f = o , .- = 0 
' dx dy dz 
geeft twee betrekkingen tusschen x ,y.s, en dus eene ruimtekromme, 
m.pl. der dubbelpunten van cc 1 exemplaren uit het volledige stel; 
deze kromme ligt in het algemeen niet op het eliminatieresultaat 
E = 0 van u en v uit de vergelijkingen 
df df 
ƒ= o , -r = ° . r = °’ 
Ou öv 
zooals bijv. onmiddellijk blijkt uit het voorbeeld 
x- -f- if — kz' 2 — 2 aas — 2 by = JE — 2o 2 — 2 b\ 
voorstellende een stel omwentelingshyperboloïden met vertikale as. 
df df df 
Zullen 
dx 
% 
— 0 zijn, dan moet 
.7, 
y = b, z = 0 
