1052 
zijn,, en zal dit punt op f = 0 liggen, dan moet h 2 = R 2 zijn. 
De vergelijking neemt dan den vorm aan: 
- (®— ay + (y-by— I 2 = 0, 
en stelt dus nu een omwenteiingskegel voor met den top in x = a, 
y = b, 2 = 0, en de m.pl. dier toppen is de cirkel x s -\ -y* = R“. 
Anderzijds vindt men gemakkelijk dat E = 0 hier wordt voorge- 
steld door 
X 2 + %f — 2 kz* = 2 R 2 ; 
liet blijkt dus onmiddellijk dat de cirkel x 2 -j- y ' 1 zzi R' 2 hier niet op 
L ligt. Dit is ook gemakkelijk te begrijpen. Neemt men x als onaf- 
hankelijk veranderlijke aan, dan worden door de m.pl. der dubbel- 
punten y,z,u,v functies van x (vgl. de analoge redeneering in §2), 
en aangezien door deze functies voldaan moet worden aan de ver- 
gelijking ƒ = 0, kan men schrijven : 
df df dy df dz df du df dv 
— 4. — - 4- _ 4_ A 4_ xL — o_ 
dx dy dx dz dx du dx dr dx 
at A , . df df df 
Nu zijn voor een punt der kromme — , ~ ~ = 0 zoodat 
dx dy dz 
overblijft 
df du df dv 
du dx dv dx 
0 , 
waaruit natuurlijk niet behoeil te volgen - :: — —O hoewel dit 
dn dv 
anderzijds niet onmogelijk is. 
Dat echter — ^ — 0 een bijzonder, en niet het algemeene geval 
voorstelt, blijkt als volgt (vgl. § 2). 
Door eliminatie van x, y, z uit 
ƒ — 0 , 
df 
dy 
vindt men eene functie g{u,v) van u en v, die nul wordt voor die 
stellen waarden van u en v die een i n t eg r aa 1 o pp e r vlak met een 
dubbelpunt bepalen. Omgekeerd laten zich oneindig vele functies 
g{u,v) bepalen, die nul worden voor de bedoelde waarden van 
... dg dy 
u en v, terwijl ^ , - - voor diezelfde waarden niet nul worden. 
Beschouwt men nu het stel oppervlakken : 
(f(x,y,z,u,v) =f(x,y,z,u,v) -f g(n,v) ~ 0 , 
waar y ééne van die oneindig vele functies voorstelt, dan bezit dit 
nieuwe stel dezelfde meetkundige plaats van dubbelpunten als het 
