óy. ö i 
oude terwiil nu voor die dubbelpunten — en — - zeker niet nul zijn. 
’ cm Óv 
Stel dat ei* een m.pl. van dubbelpunten is, gevormd door een 
oppervlak ; dan kan men x en y beide als onafhankelijk veranderlijken 
kiezen, terwijl z,u,v functies van deze worden, en aangezien steeds 
differentiatie : 
rden 
aan 
de 
x'ergelijking f - 
= 0, vindt men door 
óf 
óf 
4- 
óf óu 
óf óv 
: 0 
ÓX + 
t P 
óu óx 
óv óx 
óf 
óf 
óf óu 
óf óv 
óy + 
è Z q 
+ 
óu óy 
óv óy 
: 0, 
;en z 
ich i 
•edi 
uceeren 
tot de 
laatste twee termen, 
omdat in ieder punt van bet dubbeloppervlak 
nu de determinant 
óf óf óf 
0. Is 
óu óv 
Óx óx 
óu óv 
óy óy 
0 , 
dan moet— = — = 0 zijn, en voldoet dus bet dubbeloppervlak aan 
óu óv 
E — 0; in dit geval bestaat er tusschen u en v geen tunctionaal 
verband, d. w. z. de krommen u = const., v = const. snijden elkaar 
op het dubbeloppervlak slechts in een beperkt aantal punten, of 
m. a. w. iedere particuliere integraal bezit een eindigaanlal dubbelpunten. 
Is daarentegen de determinant wèl nul, dan is v een functie van 
u, zoodat op het dubbeloppervlak de krommen u = const. en v = const. 
samenvallen; er zijn nu slechts co 1 particuliere integralen die dub- 
belpunten bezitten, maar deze bevatten dan ook elk eene dubbel- 
kromme, en de m. pl. van deze is hetzelfde oppervlak als zooeven, 
dat nu echter niet tot E = 0 behoeft te belmoren, omdat nu 
— en ~ niet nul behoeven te zijn. Zij kunnen echter nul zijn, en 
óu óv 
dan behoort het dubbeloppervlak weer wèl tot E= 0. 
Er is nog een andere mogelijkheid. Het kan zijn dat voor het 
geheele dubbeloppervlak u = const. is, doch v niet; dit is echter uit 
een meetkundig oogpunt hetzelfde geval als zooeven, want v = const. 
snijdt nu het dubbeloppervlak volgens eene kromme die dubbelkromme 
óf 
is voor eene bepaalde particuliere integraal. ' moet nu weliswaar 
Óv 
