1054 
nul zijn, naar / niet, zooiat liet dubbeloppervlak ook nu niet tot 
öu 
E= 0 behoeft te behooren, hoewel het anderzijds zeer wel mogelijk is, 
df 
daar het geval ^- = 0 volstrekt niet uitgesloten is. 
du 
Een hoogst eenvoudig voorbeeld van een stel oppervlakken met 
een dubbeloppervlak dat niet tot E= 0 behoort, levert de vergelijking 
(x -j- r) 2 -(-• u (y -4- '«) — z 2 = 0 ; 
het dubbeloppervlak is z = 0, m. pl. der snijlijnen van de vlakken- 
paren die men vindt door u nul te stellen. Dit vlak z = 0 voldoet 
echter niet aan liet eliminatieresultaat E: if -j- 4s- 2 = 0. 
Eindelijk kan op het dubbeloppervlak zoowel u als v constant zijn ; 
onder de particuliere integralen is er dan één, die dubbel telt, en die 
al ot niet aan E = 0 voldoet, al naar gelang voor de bijzondere 
u en v van ket dubbeloppervlak - en in ieder punt van dat 
Oh Ou 
oppervlak nul zijn of niet; wij hebben dan blijkbaar te doen met 
het analogon van het singuliere raakvlak aan een oppervlak (zie 
het slot van § 3). 
Jen slotte is het mogelijk dat ieder punt der ruimte dubbelpunt 
is voor een of ander integraaloppervlak ; dit zal bijv. zoo zijn indien 
ieder integraaloppervlak eene dubbelkromme bezit, en deze krommen 
de gebeele ruimte vullen; E verdwijnt dan identisch. 
§5. Ten einde de uitkomsten van §4 meetkundig toe te lichten, 
denken wij de vergelijking f(.t,y,z,u,v ) = 0 in eene ruimte met vijf 
afmetingen, R it geïnterpreteerd als eene gebogen vierdimensionale 
variëteit I 4 ; duidelijkheidshalve zullen wij haar echter noemen 
f 4 (/ — Alle punten voor welke u = const. is liggen in een R 4 
<lie loodrecht staat op de w-as, en hetzelfde geldt voor alle punten 
v — const., en deze twee ruimten R 4 snijden elkaar volgens een R s 
die absoluut normaal is op het vlak uv, en met dit vlak een punt 
gemeen heelt; deze /? 3 snijdt 1 4 ( ƒ — 0) volgens een oppervlak rr, 
en indien men de punten van dit oppervlak door middel van klakken 
evenwijdig aan het vlak uv op de ruimte R X yz der x, y en 2 -as 
projecteert (waardoor aan ieder punt van n één bepaalde projectie 
wordt toegevoegd), dan ontstaat als projectie een oppervlak ji', 
congruent met ~, omdat de ruimte van rr evenwijdig is met R r , r , 
en dat niets anders is dan eene particuliere integraal der gegeven 
d iffer en t i aa 1 v e rge lijking. 
Door de oneindig verre rechte / a van het vlak uv gaan oo ;! 
