1055 
platte vlakken; elk van deze snijdt V 4 (ƒ= 0j volgens eene krommé, 
en onder deze zijn er co 2 die een dubbelpunt bezitten, en wier vlak 
dus de variëteit aanraakt. Door l m gaan dus oo 2 raakvlakken aan 
V 4 (-f = 0) ; de in.pl. der raakpunten P is derhalve een oppervlak 
12, maar natuurlijk in liet algemeen een oppervlak dat slechts plaats 
kan vinden in een R & ; de projectie 52' van 22 uit op R xyz is 
een gewoon oppervlak, dat den ,, schijnbaren omtrek” van V 4 (f = 0\ 
op R xyz voor de lichtende as l m genoemd zou kunnen worden. 
Het projecteeren van 22 op R xys geschiedt juist door de vlakken 
die 22 zelf hebben voortgebracht, nl. de raakvlakken door aan 
F 4 (/=0); nu gaan door het raakpunt P van zulk een vlak oo 4 
rechten, en dus oo 3 die V 4 ( ƒ = 0) in P aanraken, en deze bepalen 
de raak- R 4 in P aan V 4 ( ƒ = 0) ; aangezien deze raak-/t 4 alle raak- 
lijnen door P aan V 4 ( ƒ = 0) bevat, bevat zij ook het vlak Pl x ; 
zij is dus projecteerend, wat tengevolge heeft dat hare projectie op 
R xyz , zijnde niets anders dan hare doorsnede met R xyz , slechts een 
plat vlak is, nl. het raakvlak in P' aan 22'. 
Uit het punt P kan men slechts ééne loodlijn neerlaten op het 
vlak uv, en door het voetpunt van deze gaat slechts één R z absoluut 
normaal op uv, waaruit volgt dat door P slechts één oppervlak zr 
gaat. Het raakvlak aan dit oppervlak in P valt geenszins samen 
met dat aan 22. maar bevat wel raaklijnen van V 4 (f= 0), omdat 
immers ook rz tot deze variëteit behoort; het raakvlak in P aan zz 
ligt dus in de raak-ü? 4 van P aan V 4 {f— 0), en projecteert zich 
dus, evenals het raakvlak aan 22, in het raakvlak in P' aan 22', 
waaruit volgt dat jt' en 22' elkaar in P' aanraken ; 22' is dus de 
singuliere integraal van onze differentiaalvergelijking. 
Inderdaad vindt men 22' langs analytischen weg door de (vier- 
df 
dimensionale) eerste poolruimte = 0 van het oneindig verre punt 
Ou 
der M-as ten opzichte van V 4 (ƒ = 0), en de eerste poolruimte 
d/ 
— = 0 van V met elkaar te snijden, waardoor de driedimensio- 
Oü 
nale eerste poolruimte van de lijn J r x = l m ontstaat; deze 
snijdt V 4 (/ = 0) volgens het oppervlak 22, en 22' voldoet dus blijk- 
baar aan het eliminatieresultaat E — 0 van u en v uit f = 0, 
df df 
£=°’£=°- 
§ 6. Onder de cc' 2 ruimten R, die absoluut normaal zijn op het 
Vlak uv, en volgens het voorgaande uil I 7 ’ 4 (/‘=r0) de oppervlakken 
71 
Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXII, A ü . 1913/14. 
