1056 
jt snijden, zijn er co 1 voor welke dat doorsnijdingsoppervlak jt een 
dubbelpunt vertoont, en die dus V 4 in dat punt aanraken; dit dub- 
belpunt van st zal ecliter in het algemeen slechts een enkelvoudig 
punt van F„ zijn, d. w. z. het vlak door en dat punt zal in het 
algemeen Fj, snijden volgens eene kromme die in dat punt geen 
dubbelpunt bezit, en hieruit volgt dat de projectie van dat punt op 
R Xy ~ in het algemeen niet tot E — 0 zal belmoren. Hiermede is be- 
wezen dat de kromme van dubbelpunten, die in ons stel opper- 
vlakken jt' in het algemeen aanwezig is, in den regel niet tot E — 0 
zal belmoren. 
Omgekeerd echter is het natuurlijk niet uitgesloten dat F 4 (/ = 0) 
eene dubbelkromme bevat; nu snijdt het vlak door en een punt 
P van deze kromme F 4 volgens eene kromme die in P wèl een 
dubbelpunt heeft, en het gevolg hiervan is dat de projectie der 
dubbelkromme nu ditmaal wèl tot E = 0 behoort; en ten slotte is 
het geval niet uitgesloten dat zich beide verschijnselen tegelijk voor- 
doen, en dus het stel oppervlakken jt' twee verschillende dubbel- 
krommen bevat, waarvan de eene wèl, de andere niet tot E = 0 
behoort. 
Laat F 4 (ƒ = 0) niet eene kromme, doch een oppervlak van dub- 
belpunten bevatten ; aangezien ieder vlak door en een punt P 
van dit dubbeloppervlak V 4 ( ƒ = 0) snijdt volgens eene kromme 
met een dubbelpunt in P, zal de projectie van het dubbeloppervlak 
tot E— 0 belmoren; en aangezien een R ?i J_ uv het dubbeloppervlak 
in het algemeen snijdt in een eindig aantal punten, hebben wij hier 
met het geval te maken dat elk exemplaar van de 00 2 jt' een eindig 
aantal dubbelpunten bezit (zie § 4). 
Een dubbeloppervlak in het stel jt' kan echter een geheel anderen 
oorsprong hebben. Onder de ruimten R s ±uv kunnen er zijn die 
F 4 ( ƒ = 0) niet in één, doch in oneindig veel punten aanraken, zoo- 
dat het bijbehoorende oppervlak jt eene dubbelkromme bezit, die 
echter niet tevens eene dubbelkromme van F„ is ; er zijn dan opper- 
vlakken jt' met eene dubbelkromme die niet tot E— 0 behoort. En 
hebben alle R t ±uv die F 4 aanraken deze eigenschap, dan bevindt 
zich in het stel ji' een dubbeloppervlak, m. pl. van dubbelkrommen 
van oo 1 oppervlakken jt' , dat niet tot E= 0 behoort. Zelfs is het 
geval niet uitgesloten dat een zekere i? 3 j. uv F„ (ƒ = 0) aanraakt 
in alle punten van een oppervlak, het analogon van de singuliere 
raakvlakken van een ring ; dan bezit de differentiaalvergelijking eene 
dubbeltellende particuliere integraal, die niet tot E = 0 behoort. 
Telt echter die integraal dubbel omdat het bijbehoorende oppervlak 
jt in R b een werkelijk dubbeloppervlak van F 4 ( ƒ = 0) is, dat 
