j060 
3. Deze tweede integraal bezit ook de eigenschappen in de ver- 
gelijkingen (4) en (5) uitgedrukt. Differentieert men toch, dan komt 
L'n («) = 2 xL n (x) 
4 W n “R cos I & 
njz 
xu 
du 
- -iXjLjyi 1 $/ ) 
CO n, 2 
1 C-~ , . / (m + 1)5A 
— e xl I e 4 u ,l + ] sin ( xu - — ■ du 
l/* J V 2 ) 
of 
L'n (x) = 2 xLn {x) — L n + 1 (&■) (11) 
Differentieert men opnieuw dan vindt men met gebruikmaking 
van de differentiaalvergelijking (3) waaraan L n voldoet 
(2 n -f- 2) L n — 2x L n -\-\ + — 0 
waaruit als men n door n — 2 vervangt, volgt 
L n — - 2x L n —1 -)- 2 ( n — 1) L n — 2 = 0 (12) 
welke vergelijking overeenkomt met (5). 
Vervangt men in (12) n door n 1 dan vindt men 
Ln - )-i — 2x L n 2 ii L n — i . 
Substitueert men dit in (11) dan wordt deze 
Ln (x) = 2n L n —\ (x) ....... (13) 
4. Ontwikkelen we nu de tweede integraal naar positieve machten 
van x, dan onderscheiden we twee gevallen. 
Is n even, dan is 
(—O 2 , 
L n {x)= K -—L-e* 
t/jr 
ƒ 
e 4 u n sin xu du 
.(- 1 ) 
5 2fc-f-l 
e x ~ 2 ( — 1 V c 
[/jt o (2A + 1) 
e 4 vfik - (-«+ 1 du 
(-1 r 
j/ JT 
dus 
( — 1 ) m 
L 2m (x)=- —2 sm.-rn/fi** 
[/jt 
Is n oneven, dan is 
„ * / n _j_2/c)\ (2a , ) 2fc + 1 
e* 2 . 2» 2 (— 1)* ( ' 
o ' V 2 ) (2A+1)/ 
X 2 
(2 xY 
2x— (m -f l)-^- + (m4-l)(m-l-2)-^ 
5/ 
(14) 
