1071 
4. Een willekeurige rechte r door een punt P wordt door een 
o 4 in een puntenpaar R, R' gesneden ; de meetkundige plaats dier 
punten is een oppervlak Tl van den 5 ?n graad met drievoudig punt P. 
Ligt P op p 5 , dan bestaat 11° uit het oppervlak 2 3 hehoorende 
bij S P en een quadratisch kegelvlak, waarvan de ribben singu- 
liere hisecanten q zijn. Elke rechte q is bisecante van oc 1 krommen 
der [p 4 ]. 
Is, omgekeerd, q bisecante van een p 4 en tevens secante van p 5 , 
dan behoort het kubisch oppervlak door p 4 , p 5 en q tot [tf> 3 ] ; dus 
wordt q door de oppervlakken van dit net gesneden in de punten- 
paren van een P 2 , is derhalve bisecante van oo 1 krommen o 4 (sin- 
guliere bisecante der tweede soort). 
De rechten q die in een punt P samenkomen, belmoren tot de 
gemeenschappelijke ribben van Iwee kegels, die tot richtlijnen hebben 
de p 4 door P en de singuliere kromme o 5 . Deze kegels gaan door 
de 10 snijpunten van p 4 en p fi ; van de 15 gemeenschappelijke ribben 
zijn dus 5 in rechten q gelegen. Daar een vlak 5 punten S, dus 10 
rechten q bevat, vormen de singuliere hisecanten der tweede soort 
een congruentie (5,10), die p 5 tot singuliere kromme der tweede 
orde heeft. 
De kuhische kegel k 3 , welke een o 4 uit een van haar punten P 
projecteert, heeft een dubbelribbe in de trisecante u van p 4 , die door 
P gaat. Deze is tevens dubbelreehte van het oppervlak Tl . Tot de 
doorsnede van TV’ en k 3 behoort vooreerst de kromme p 4 ; verder de 
singuliere hisecanten Zq, /q die ƒƒ, en H 2 met P verbinden, terwijl 
u voor vier gemeenschappelijke rechten moet gerekend worden; de 
rest der doorsnede bestaat uit de 5 rechten q, die in P samenkomen. 
Daar u met o 4 en p 5 een 4> 3 bepaalt, wordt zij door het net 
[4> 3 ] in de drietallen van een involutie I 3 gesneden, is dus singu- 
liere trisecante der congruentie (gemeenschappelijke bisecante van 
oo 1 krommen o 4 ). 
5. Beschouwen wij thans de quadrupelinvolutie ( Q 4 ), welke de 
congruentie [o 4 ] in een vlak q> bepaalt. Zij heeft vijf singidiere 
punten der derde orde in de vijf doorgangen Sk der singuliere kromme 
p 5 . De monoïde d£ 3 k snijdt q volgens de nodale kromme <fk, waar- 
van de punten in de drietallen van een P zijn gerangschikt, die 
met Sk quadrupels van ( Q 4 ) vormen; ff/- bevat ook de overige 
punten S (§ 3). 
Als het punt Q een rechte / doorloopt, beschrijven de overige 
drie punten Q' van zijn quadrupel een kromme die driemaal 
door elk der punten Sk gaat. De krommen A en A*, die bij / en /*' 
behooren, hebben, behalve de 45 in de punten Sk gelegen door- 
72 
Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XXU. A°. 1913/14. 
