1380 
driehoeken A, welke de drietallen van een involutie der eerste 
klasse tot hoekpunten hebben, behooren tevens tot een kubische 
involutie van rechten; de zijden van den A vormen een van haar 
groepen. 
De kubische involuties der tweede klasse bezitten de kenmerkende 
eigenschap een pareninvolutie, anders gezegd, een involutorische 
birationale puntenverwantschap te bepalen. Immers, zij X, X', X " 
een groep van een involutie {X 3 ) van de tweede klasse; op X X" 
ligt dan nog een paar Y’, Y"; het punt Y, dat dit paar tot een 
drietal aanvult, is blijkbaar involutorisch aan X toegevoegd. In het 
volgende wordt een bepaalde (A 3 ) der tweede klasse nader beschouwd 
en de bijbehoorende involutorische verwantschap ( A Y) onderzocht. 
2. Wij gaan uit van een bundel kegelsneden <y> 8 met de basis- 
punten A, B 1} B. 2 , B 3 en een bundel kubische krommen «/ 3 met de 
basispunten B x , B 2 , B z , Cr,{h = 1 tot 6). De krommen B en (p s , welke 
door een willekeurig punt X gaan, snijden elkaar nog in twee 
punten X',X’, welke wij aan X toevoegen. Daar de involuties 
f- en I\ die op een rechte door de bundels (<p 2 ) en (<p s ) bepaald 
worden, twee paren A A " en Y', V" gemeen hebben, ontstaat 
hier een kubische involutie (A 3 ) van de tweede klasse. 
De tien basispunten zijn singuliere punten, want ze behooren ieder 
tot co 1 groepen; omgekeerd -is een singulier punt zeker een basis- 
punt van een der bundels. 
De puntenparen, welke met het singuliere punt A involutie- 
driehoeken A bepaien, liggen blijkbaar op de kromme « 3 van den 
bundel (<p 3 ), die door A gaat. Daar zij ingesneden worden door (<p-), 
vormen zij een centrale involutie, d. w. z. de rechten x = XX" 
gaan door een punt T van a 3 (tegenpunt van het quadrupel AB X B., B 3 )- 
Analoog liggen de paren X' , A ", die aan C\ zijn toegevoegd, op 
de tot {rp 1 ) behoorende kegelsnede yp dooi - C /, ; de rechten x komen 
samen in een punt M h , het centrum der I\ 
Om de meetkundige plaats der paren te vinden, die met B 1 over- 
eenkomen, voegen wij aan elke B de < p 2 toe, welke haar in B x 
aanraakt. De hierdoor projectief gemaakte bundels brengen een 
kromme van den vijfden graad, d\> voort, die een drievoudig punt 
in B x , dubbelpunten in B 2 , B , heeft en door A en Ch gaat. Wordt 
de rechte x—X'X" toegevoegd aan de rechte, welke de overeen- 
komstige krommen B en B in B, aan raakt, dan is daardoor een 
overeenkomst (1,1) verkregen tusschen de door x omhulde „involutie- 
kromme [x] en den stralenbimdel A’, ; hieruit volgt dat ( x ) een 
rationale kromme moet wezen. Daar door ƒ>, geen andere rechten 
