156 M. L/Huilier on an elementary Manner 
Reduisant en suites les facteurs du premier membre (§ 11), 
et executant les multiplications ; les premiers termes des pro- 
duits sont iz; et le premier terme de chaque second membre 
est aussi 1 z; partant, nous apprenons seulement que le premier 
terme de f expression du sinus est bien 1 z. 
Soient prises les differences secondes ; on obtient 
— 2 l sin. a ~* sin. o,z = — A“ (3*. .1 1 ) A z 2 -|- A 11 (3 s .. 1 3 ) Bs 3 -f A 1 * 
(3 4 ...i 4 )C^+A»(3 s -i s ) D* 5 +.- 
— 2 2 sin. 2 A«; sin. 3 z= — A" (4\..2 2 ) A z 2 -\- A u (4 3 --2 3 ) Bs 3 -}- A i[ 
( 4 4 ...2 4 ) 0 4 -f- A“ (4 s . ..2 s ) D + 
— 2 a sin. 2 \z sin. 4 s = —-A 11 (5 1 ..-3 1 ) A s 2 + A fi (5 3 ..3 3 ) Bs 3 -{- A" 
( 5 4 - 3 4 ) C* 4 + A” ( 5 5 .v 3 s )D^ s +... 
Or; le premier terme de chaque premier membre d£velopp6 
en suite conformement aux expressions du § li^estz 3 ; et les 
premiers membres ne contiennent pas les secondes puissances 
de z ; tandis que le coefficient du premier terme Az 2 des seconds 
membres, qui est la difference seconde des quarts des nombres 
naturels, ffevanouit pas. Done ; dans les seconds membres, 
le coefficient A de s a est zdro. 
On ddmontre de la meme maniere ; que, dans la suite, 
sin. z = z — A z z -f- B% 3 -f- C% 4 -j- D% 5 + E% 6 les coef- 
ficiens de toutes les puissances a exposans pairs dvanouissent. 
Savoir ; aiant pris les differences de fordre pair zm qui sont 
=±= z zm sin. z 2m ~ z sin. pz (§ 10.) ; le premier terme du produit 
des facteurs developpes en suites, contient la puissance impaire 
des:, de maniere que dans ces produits, la puissance 
paire z 2m manque ; done, elle doit aussi manquer dans les se- 
conds membres : or, le premier terme de chaque second 
membre contient la puissance paire z 2m , avec deux facteurs 
dont fun A 2m n zm est la quantity constante 1.2. . . 2 m (§ 1.) et 
