becomes 
obtained by Means of imaginary Quantities . 105 
\xs/— 
4 7 • * 4 
and, consequently, equals-^- -{-—cos. (2 x) cos. (4 x ) -f- cos. 
, n y. , x n . i cos. — cos. (2 n + 2) x -f- cos. zx — 1 
(6i)...cos.(2»jr),or- + T 
+ &c. 
Similarly may be determined the sums of sin. x -J- sin. 2 x 
+ ••• sin. n x , of cos. jc -f cos. 2i + . cos. n x , and ge- 
nerally of cos. x + cos. 2 a: + . . . . cos. m x ; for, (» being 
even * A = 4 ) (» + 6) • • ^ and B = (» -M) (» + ft 
n (n — 2) (n — 4) .. .4. 2’ (« — 2) (« — 4) ...4.2/ 
cos. x” == — r, [cos. ».?-}-« . cos. (w— 2).r-f-&c. . . . Bcos.sx -f- ~ j 
cos. zx— ~kxi [cos. 2 n x -j- n . cos. 2 (w — 2) x-{- &c. . . . B cos. 4 x -f ^ j &c. 
cos. m ~n [cos. .r 4- « . cos. m (n — 2) a: -j- &c. . . . B .cos. 2 m x.-|- ^ ) 
* The coefficient A — ■ * j r f) [” ma y be d iff erentl y expressed, thus, 
n.(n— t)(n — a) n — w + 2 
A - 3 ) 4. 8 ->.i (« — 2 « + 2 - °) 
(v + t)-C— M4— + 4— )•(— »)-(-f-» + T-»)-(f+‘) 
-l.l 
. 
1 
1 
4(4-') (4~ 2 ) 
II 
's' 
1 
1 
06 
u 
1 
on 
• 
•• 2 (4 + ') 
It-*) 
4 . 3 . 2 . 1 
__ 2 4 (n — 1) (n — 3) (n — 5) •••(— + 1) 
_ z T (»— 1) (« — 3) [t + 1 ) 
■ 
*l s 
1 
1 
- 
4(4—) (4 4) • . • 8 • 6 . 4. . 2 
_ 2 a («— I) (« — 3) (H — 5) .. + 1 
® v 
(4-H4-0 
t(t~ 2 ) (~ 4 ).* -6. 4. a 
if-') (4 — 3 ) (4 — s) • - - s - j • 1 
__ 2* (n~i) (n — 3) 5-3-1 
1.3.5... (n— 1 ) l 
4 ( 4 -) s. s . 4 . 3 .*..’° r 
n 2 • 
MDCCCI, 
P 
