MR. LUBBOCK’S RESEARCHES 
34*2 
d.sin?i£* 2 sin 2 n t — sin 4 n t d.sxwnt 3 cosnt cos 2 n t — cos 4 n t 
sin ;? fi cos >it= -^ J -^ r = 
8 
d . n t 
d* . sin n t 3 cos n t 
(d . n tf 
sin ti t* cos nt = 
= — sin 2 n t + 2 sin 
d . sin n t b 2 cos 7it — 3 cos 3 n £ + cos 5nt 
5d.nt ~ 16 
d . sin n t * cos n t — 2 sin n t 4- 9 sin 3 n t — 5 sin 5 nt 
d.nt 16 
d' . sin n t* cos nt — 2 cos n t + 27 cos 3nt — 25 cos 5nt 
(d . n ty = 16 
d 5 . sin n t 4 cos nt 2 sin n t — 81 sin 3 n t + 1 25 sin 5nt 
(d . 7i ty 
sin u=sinw /+-2 sin 2 nt+ 
16 
-sin«£ + 3 sin 3 nt 1 
o { — sin 2 w^+2sin 4 nt} 
J 2.3 
+ 
2.3.4 \ 
2 sin nt — 81 sin 3 7it + 125 sin 5 nt 
16 
} 
and replacing n t by n t — nr 
sin v = | 1 — ~ e 4 } sin (n t — nr) + { 1 — 2 ~ j sin (2 n t — 2 nr) 
+ 1^- it* e 1 }sin (»<-») 
4- -£* sin (2 w £ — 2 nr) 
« f 1 5 4 e 3 125 
-1 — — <J 1 — e 2 > sin (3 w t — 3 nr) + g- sin (4 w <-4ro)-f e 4 sin (5w/— 5nr) 
4- ^ c 4 sin (3 w # — 3 s) 
cos (u + nr) = |l — 4- jcos cos nr 4- j 1 — *ff j cos(2w*— nr) 
o c 3 4 c 3 125 
4 - — e 2 1 e 2 > cos {3nt — 2 nr) 4- cos (4 w 2— 3 tst) 4“ 334 e 4 cos(5 — 4 nr) 
e * r e * ■) e 3 9 
— — -j 1 — > cos (n t — 2 nr) — -J 2 cos (2 w * — 3 nr) — jgg e 4 cos (3n/-4 nr) 
C e* e* "1 € e ( €*" 1 
sin (u+nr) = j 1 — j + ^ > sin n t — sin nr 4 - j j 1 - -g j sin(2n*-nr) 
o r a ■) ^3 125 
-P e 2 < 1 — — e 2 > sin (3 n t— 2 nr) 4 ~ -3 sin (4 n t— 3 nr) 4 - jg^e 4 sin(5 4 nr) 
