DARlTHMIîTlQUE MORALE. 59 
pour mesurer la surl'acc tl iin carré, il sullilde mesurer la longueur d’im des 
côiés, et de multiplier cette longueur par elle-même; car cette multiplication 
produit une autre longueur, que l’on peut représenter par un nombre qui 
ne manquera pas de représenter aussi la surface cliercbée, puisqu’il y a le 
même rapport entre Funité linéaire, le côté du carré et la longueur produite, 
qu’entre l'unité de surface, la surface qui ne s'étend que sur le côté du carré 
et la surface totale, et par conséquent on peut prendre l’une ))our l'autre. Il 
en est de même des solides; et en général toutes les fois que les mêmes 
rapports de nombre pourront s’applicpicr à différentes qualités ou quantités, 
on pourra toujours les mesurer les unes par les autres; et c’est pour cela 
qu'on a eu raison de représenter les vitesses par des lignes, les espaces par 
des surfaces, etc., et de mesurer plusieurs propriétés de la matière par les 
rapports qu’elles ont avec ceux de l'étendue. 
L'extension en longueur se mesure toujours par une ligne droite prise 
arbitrairement pour l'unité, avec tm pied ou tme toise, prise pour Ftinitéou 
mesure juste; une longueur de cent pieds ou de cent toises, avec un demi- 
pied ou une demi-toise prise de tnôme pour l’unité ou mesure juste; cent 
pieds et demi ou cent toises et demie, et ainsi des autres longueurs : celles 
qui sont incommensurables, comme la diagonale et le côté du carré font une 
exception. 
Mais elle est bien légitime, car elle dépend de l’incommensurabilité pri- 
mordiale de la surface avec la ligne, et du défaut de correspondance en 
certain cas des échelles de ces mesures; leur marche est différente, et il 
n'est point étonnant qu’une surface double d’une autre appuie sur une ligne 
dont ou ne peut trouver le rapport en nond)rcs, avec l'autre ligne sur la- 
quelle appuie la première surface; car, dans l’arithmétique, l'élévation aux 
[uiissances entières, comme au carré, au cube, etc., n’est qu’une multipli- 
cation ou même une addition d’unités; elle appartient par conséquent à 
récbelle d'arithmétique <jui est en usage, et la suite de toutes ces puissances 
doit s'y trouver et s’y trouve; mais l'extraction des racines, ou, ce qui est la 
même chose, l’élévation aux puissances rompues n’appartient plus à cette 
meme échelle, et tout de même qu’on ne peut, dans l’échelle denaire, 
exprimer la fraction I que par une suite inünie ‘îtc,, on ne peut 
aussi exprimer les puissances rompues ou les racines i,'j,^,etc.,de plusieurs 
nombres, que par des suites infinies, et par conséquent ces racines ne peu- 
vent être mesurées par la marche d’aucune échelle commune; et comme la 
diagonale d’un carré est toujours la racine carrée du double d’un nombre 
carré, et que ce nombre double ne |)eut lui-meme être un nombre carré, il 
s ensuit que le nombre qui représente cette diagonale ne se trouve pas dans 
l'échelle d'arithmétique et ne peut s’y trouver, quoique le nombre qui repré- 
sente la surface s'y trouve, parce que la surface est représentée par une 
puissance entière, et la diagonale par la puissance rompue ^ de 2, laquelle 
n’existe point dans notre échelle. 
De la même manière qu’on mesure avec une ligne droite prise arbitraire- 
