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tout mesurer, 'et de résoudre toutes les questions qui paraissaient insolubles ; 
car, dès qu’on acesséde regarder les courbes contmecourbesen touterigueur, 
cl qu’on les a réduites à n ôtre que ce qu’elles sont en eiïel dans la nature, des 
polygones, dont les côtés sont indeliniment petits, toutes les difficultés ont 
ffisparu. Ou a rectifié les courbes, c’est-à-dire mesuré leur longueur, en les 
supposant enveloppées d’un fil inextensible et parfaitement (lexible, qu’on 
développe successivement (voyez Fluxions de Neudon, page loi, etc.), et on 
a mesuré les surfaces par les mémos suppositions, c est-à-dire en changeant 
les courbes en polygones, dont les côtés sont indéfiniment petits. 
XXXIII. Une antre difficulté qui lient de près à celle de la quadrature du 
cercle, cl de laquelle on peut même dire que celte quadrature dé|)cnd, 
c’est l’incommensurabilité de la diagonale du carre avec lecôtej dillicullé 
invincible et générale pour toutes les grandeurs, que les géomètres ap- 
pellent incommensurables. Il est aisé de taire sentir que toutes ces difficultés 
ne viennent que des définitions et des eonventions arbitraires qu on a faites, 
en posant les principes de rarilhmélique cl de la géométrie; car nous suppo- 
sons en gcomélrieque les lignes croissent comme les nombres 1 , 2 , 3, 4, 5, etc., 
cesl-à-dire suivant notre écbelie d'arithmétique; cl, par une correspondance 
sous-entendue de runilé de surface avec l’unilé linéaire, nous voyons «pie les 
surfaces des carrés croissent comme 1,4, 9, 16, 25, etc. Ear ces suppositions 
il est clair que, de la même façon ipie la suite, 1,2, 5. 4, 5, etc., est I échelle 
des lignes, la suite 1, 4, 9, 16, 25, etc., est aussi réchelle des surfaces, et que 
si vous interposez dans cette dernière échelle d autres nombres, comme 2 , o, 
^,6,7,8/10,11,12,13, 14, 15,17,18, 19, 20,22,25,24, tous ces nombres 
n’auront pas Icui's correspondants dans réchelle des lignes, et que par con- 
séquent la ligne qui correspond à la surface 2 est une ligne qui na point 
d expression en nombres , cl qui par conséquent ne pe.ut pas être mesurée 
par l’unité numéritjue. 11 serait inutile de prendre une partie de runilé pour 
mesure, cela ne change point l’impossibihlé de I expression en nombi'cs ; 
car si l’on prend pour l'échelle des lignes 1 , f, 2, J, 3, 4, etc., on aura 
pour réchelle correspondante des surfaces 1 , 7 , —, 9, 16, etc., ou 
plutôt on aura pour l’échelle des lignes |, f, |, |, f, 5, f, etc., et pour celle 
des surfaces i, ce qui retombe dans le même cas 
que les échelles, 1, 2, 3, 4, 5, etc., et 1, 4, 9, 16, 25, etc., de lignes et do 
surfaces dont l’imité est entière; et il en sera toujours de même, quelque 
partie de l’unité cpie vous preniez pour mesure, comme | ou ou ÿ, etc. : 
les nombres incommensurables dans l’échelle ordinaire le seront toujours, 
parce que le défaut de correspondance de ces échelles subsistera toujours. 
Toute la dilficullé des incommensurables ne vient donc i|ue de ce qu on a 
voulu mesurer les surfaces comme les lignes; or il est clair qu’une ligne 
étant supposée runilé, vous ferez avec deux de ces unités une ligne dont la 
longueur sera double; mais il n est pas moins clair qu’avec deux carrés, 
dontchacun est pris de même pour l unilé, vous ne pouvez pas faire uncarré. 
Tout cela vient de ce que la matière ayant trois différentes dimensions ou 
