D’AmTlliMÉTiQL’E MOlULE. 
de suite eu doublant toujours le nombre des écus ; il est visible que par 
ectte condition Pierre ne peut que gagner, et que son gain sera au moins 
un éeu, peut-être deux éeus, peut-être quatre éeus, peut-être buit éeus, peut- 
être seize écus, i>eut-élre trente-deux écus, etc., peut-être cinq cent douze 
écus, etc., peut-être seize mille trois cent quatre-vingt-quatre ecus, etc., 
peut-être cinq cent vingt-quatre mille quatre cent quarantc-buit écus, etc., 
peut-être même dix millions, cent milüons, cent mille millions d écus, peut- 
être enfin une infinité d éçus. Car il n est pas inqrossible de jeter cimi fois, 
dix fois, quinze fois, vingt fois, mille fois, cent mille lois la pièce sans 
qu elle présente croix. On demande donc combien Pierre doit donnei a Piiul 
pour rindemniser, ou ce qui revient au même, quelle est la somme équiva- 
lente à I cspérance de Pierre, ([ui ne peut que gagner. 
Cette (|uestion m'a été proposée pour la première fois par feu M. Cramer, 
célèbre professeur de mathématiques à Genève, dans un voyage que je fis 
en cette ville, en l annee 1750; il me dit quelle avait été proposée précédem- 
ment par M. Nicolas Bernoulli à M. de Monimort, comme en effet on la 
trouve p. -lOS et 407 de 1 Ancili^sc des jeux de hcisui d, de cet autem . Je 
rêvai quelque temps à cette question sans en trouver le nœud; je ne voyais 
pas qu'il lut possible d'accorder le calcul mathémati(iuc avec le bon sens, y 
faire entrer (|uelques considérations morales ; et ayant fait part de mes idées 
à M. Cramer *, il me dit «pte j’avais raison, et qu'il avait aussi résolu cette 
* Voici ce que j’en laissai alors par écrit à M. Cramer, cl Joui j'ai conservé la copie 
originale. « M. de Moiitmorl se contente Je répondre à M. Nie. Bernoulli, que l'équi- 
« valent est égal à la somme de la suite ^ H etc., éeus, continuée à l’infini, c’est-à- 
« dire=r, et je ne crois pas qu’en effet on puisse contester son calcul mathématique; 
i( cependant, loin de donner un équivalent infini, il n’y point d homme de bon sens 
« qui voulût donner vingt écus, ni même dix. 
« La raison de celle conlrariélé, entre le calcul mathématique et le bon sens, me 
« semble consister dans le peu de proportion qu’il y a entre l’argent et l avantage qui 
« en résulte. Un mathématicien, dans son calcul, n’cslimc l’argent que par sa quan- 
« lité, c’est-à-dire par sa valeur numérique; mais I hommc moral doit l’estimer au- 
« Ircrnenl et uniquement par les avantages ou le plaisir qu’il peut procurer ; il est 
« certain qu’il doit se conduire dans celle vue, et n’estimer l'argent qu’à proportion 
0 des avantages qui en résidtent, et non pas relativement a la quantité qui, passe de 
« certaines bornes, ne pourrait nullement augmenter son bonheur; il ne serait, par 
« exemple, guère plus heureux avec mille millions, qu’il le serait avec cent, ni avec 
« cent mille millions, plus qu’avec mille millions; ainsi, passé de certaines bornes, il 
« aurait très-grand tort de hasarder son argent. Si, par exemple, dix mille écus étaient 
« tout son bien, il aurait un tort infini de les hasarder, et plus ces dix mille écus se- 
« ront un objet par rapport à lui, plus il aura de torl. Je crois donc que son tort se- 
* rail infini, tant que ces dix mille écus feront une partie de son nécessaire, c’est-à- 
« dire, tant que ces dix mille écus lui seront absolument nécessaires pour vivrecomine 
« il a été élevé et comme il a toujours vécu. Si cesdix mille écus sont de son superflu, 
« son tort diminue, et plus ils seront une petite partie de son superflu, et plus son 
« torl diminuera; mais il ne sera jamais nul, à moins qu’il ne puisse regarder celle 
« partie de son superflu comme indifférente, ou bien qu’il ne regarde la somme espérée 
