A. Privffsheim : Zur Theorie des Doppel-Integrals etc. 
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Da nun, vermöge der Bedeutung des „oberen“ und 
„unteren“ Integrals*) die in der Klammer stehende Differenz, 
welche man zweckmässig als die Integral-Schwankung von 
X 
^f{x,y)dx bezeichnen kann, niemals negativ ausfällt, so 
Xa 
folgt aus einer einfachen Umformung der Riemann’schen 
Integrabilitäts-Bedinguug,’*) dass Gl. (2) dann und nur dann 
besteht, wenn für eine im Intervalle Y) überall dichte 
Menge von Werthen y: 
U X 
(3) J f{x, y)- dx — ^ f (x, y) dx = 0, 
Xo 
X 
SO dass also ^f(x,y)-dx existirt, und wenn ausserdem die 
stellen y, für welche: 
X X 
(4) '^f{x,tj)-dx — Jf{x,y)>dx>e, 
Xo 
bei beliebig kleinem c > 0 eine unausgedehnte Menge bilden.®) 
(NB. Dabei können immerhin die Stellen y, für welche jene 
Differenz von Null verschieden ist, auch eine ausgedehnte 
z. B. überall dichte Menge bilden). 
Da im übrigen unter der gemachten Voraussetzung auch 
die zu (1) analogen Gleichungen bestehen: 
X 1 
= j* dx j f(x, y)- dy 
Xo Ho 
= J dx ^ f{x, rj)’dy, 
( 5 ) ^ ^f{x,y)-dx’dy 
{xo.yo) 
SO gewinnt man den Satz: 
*) A. a. 0. p. 64. 
■^) S. z. B. Dini-Lüroth, p. 359, Nr. 14. 
Dini-Lüroth, p. 355, Nr. 9. 
