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Sitzung der math.-phys. Glosse vom 4. Februar 1890. 
Existirt für die Function f (x, y) ein über das 
Rechteck a; < X, ?/„ < y ^ F] erstrecktes eigent- 
liches Doppel-Integral, so existiren die einfachen 
Integrale: 
^f{x,y)-dx, ^f{x,y)’dy 
Xo yo 
für je eine im Intervalle (y„, F) bezw. (x„, X) überall 
dichte Menge. Die Stellen y bezw. x, wo jene 
Integrale nicht existiren, können zwar ebenfalls 
überall dicht liegen: jedoch bilden diejenigen Stellen, 
für welche die Integral-Schwankung eine beliebig 
kleine positive Zahl e übersteigt, allemal eine 
imausgedehnte Men ge. 
Beispiele: I.*) Jede Zahl a; lässt sich durch einen syste- 
matischen Bruch mit beliebig gewählter ganzzahliger Basis 
b'>2 dar.stellen und zwar auf eine einzige Weise, wenn man 
Brüche mit der Periode (b — 1) ausschliesst. Bezeichnet man 
die Anzahl der hierbei auftretenden Bruchstellen mit px (wo 
1) Unrichtig ist es also, mit Harnack (Elem. der Diff.- und 
Integr.-Rechnung, p. 313) anzunehmen, dass die Nicht-Existenz jener 
einfachen Integrale allemal auf eine unausgedehnte Menge .v bezw. x 
beschränkt sein müsse, worauf schon Herr Stolz ira Anschlüsse an 
Du Bois Reymond (Journ. f. Math. 94 (1883), p. 278) aufmerksam ge- 
macht hat (Math. Ann., Bd. 26 (1886), p. 93, Fussn.). Auf der andern 
Seite ist es aber für den Gültigkeits-Beweis der Formel (1) bezw. (5) 
auch nicht nothwendig, diese Beschränkung mit Herrn Stolz ausdrück- 
lich unter die Voraussetzungen aufzunehmen, wie ich in der oben 
citirten Mittheilung des näheren erörtert habe. 
^) Dieses Beispiel ist lediglich eine etwas allgemeinere und ge- 
nauere Fassung des a. a. 0. p. 71 von mir gegebenen, welches letztere 
ein Versehen enthält. Es müsste auf p. 72, Gl. (6) heissen: 
f {X, y) = 
— . -t- - 
1 + 1 + <? 
wenn beide Veränderliche x, y durch endliche Decimalbrüche dar- 
stellbar sind, in jedem anderen Falle: 
f (X, y) = 0 . 
