A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals etc. . 
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also: ^x>0), so mag x eine systematische Zahl heissen, 
wenn px endlich ist, und {x, y) als systematischer Punkt 
bezeichnet werden, wenn beide Coordinaten x, y systematische 
Zahlen sind. Für ein systematisches x hat alsdann , 
einen bestimmten positiven Werth ^1, für ein nicht- syste- 
matisches wird man diesem Symbole und dem allgemeineren: 
V 
^ naturgemäss den Werth Null beizulegen haben. Definirt 
man sodann qx durch die Gleichung: 
( 6 ) 
so hat man offenbar: 
lim , 
v=a. V -f-px 
(7) 
Sx = 1, wenn x systematisch, 
fix = 0, wenn x nicht-systematisch. 
Nun werde gesetzt: 
( 8 ) 
so hat man: 
fix 
(9) 
f{x,y)=0, 
4- . wenn (x, y) systematisch, 
wenn (x, y') nicht-systematisch. 
Da es in jedem endlichen Intervalle (a:„, X) bezw. («/q, Y) 
nur eine endliche Anzahl von Werthen x bezw. y giebt, für 
welche 1 + — bezw. 1 Y P// ^ also auch in dem ent- 
sprechenden Rechtecke nur eine endliche Anzahl von Punkten, 
für welche /"(a:, y) > 2 £, so erkennt man unmittelbar die Rich- 
tigkeit der Beziehungen: 
•tZa: = 0, jj^—-dy = 0, ^jjf{x,y)-dx-dy = 0. 
Xa yt ”1“ Py (Xa. Ua) 
