A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals etc. 
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der beiden Coordinaten oder nur eine derselben eine nicht 
systematische Zahl ist, so hat man: 
(14a) 
dagegen : 
<P (^) 1/) = 0, wenn {x, y) systematisch oder 
unsystematisch, 
( 141 )) <r{x,^J) 
1 
l+i?. 
1 
i +Ä 
, wenn x systematisch, 
y unsystematisch, 
, wenn y systematisch, 
X unsystematisch. 
so dass also {x, ?/) für die nicht-abzählbare Menge der 
halbsystematischen Punkte von Null verschieden ausfällt. 
Dennoch ist die Menge der Punkte, für welche cp (x, «/) > £ 
wird, eine zweidimensional-unausgedehnte, da dieselben 
nur auf einer endlichen Menge von Linien: y = Px bezw. 
x~p,j (wenn auch daselbst überall dicht) Vorkommen. In 
Folge dessen existirt wiederum das betreffende Doppel- 
Integral (mit dem Werthe 0), und es gelten im übrigen die 
Gleichungen (11), (12) genau wie im Falle I. 
III. Zu analogen Functions- Bildungen kann man auch 
gelangen, wenn man statt der Eintheilung der Zahlen in 
systematische und nicht-systematische diejenige in 
rationale und irrationale zu Grunde legt. Ist x rational 
'i)l • 
und setzt man x = — so ist rtx eindeutig bestimmt, wenn 
rix 
man nix., Ms relativ prime ganze Zahlen und Wx > 0 an- 
nimmt. Im Falle eines irrationalen x mag dann wiederum 
\ P . 
dem Symbole - bezw. der Werth Null beigelegt 
rix >’ “T 
werden, so dass also: 
= 1, wenn x rational, 
= 0, wenn x irrational. 
( 15 ) 
Tx = lim 
.•=co V + nx 
