48 
Sitzung der math.-phys. Classe vom 4. Februar 1899. 
(welche natürlich auch die Existenz') der betreffenden 
iterirten Integrale involvirt). 
Da die nothwendige und hinreichende Bedingung für 
die Existenz des Doppel-Integrales darin besteht, dass die 
Stellen (x, y), an welchen f {x, y) Sprünge > e erleidet, eine 
zweidiinensional-unausgedehnte Menge bilden,’') so wird 
es für den Nachweis der obigen Behauptung im wesentlichen 
nur darauf ankommen, die Existenz von Punktmengen fest- 
zustellen, die zwar in einem zweidimensionalen' Gebiete, 
dao-e^en auf keiner horizontalen oder vertikalen Linie 
O O 
aus o-e dehnt sind. Ob derartige Mengen bisher schon be- 
merkt worden sind, ist mir nicht bekannt. Ich will daher 
zunächst zeigen, wie man Mengen definiren kann, welche die 
') Man bemerke, dass die Existenz von: 
X 1’ 
J* dx ^ f(r, y) • dy 
für (t <i -To < X < .^1, <C j/o <[ Y B, auch bei durchweg positivem 
f {x, y) merklich mehr besagt, als diejenige von: 
A B 
^ dx ^ f{x, y) . dy. 
Setzt man z. B. 
so wird: 
f (x, !/) = 1 für rationale x, 
f y) — y für irrationale x. 
während 
1 1 
J* dx j* f(x, y) • dy = 1, 
ü 0 
1 
^ dx ^ f(x, y) d y 
0 0 
für E<il nicht existirt. (üebrigens existirt in diesem Falle auch 
nicht: ^ ^ 
^ dy ^ f{x,y)- dx. 
c 0 
Vgl. Thomae, Zeitschr. f. Math. 23 (1878), p. 67). 
Stolz, a. a. 0. p. 90. 
