A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals etc. 
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fragliche Eigenschaft gewissermaassen in höchster Vollkommen- 
heit besitzen: dieselben liegen nämlich in jedem zweidimen- 
sionalen Gebiete überall dicht, während sie auf jeder 
Horizontalen oder Vertikalen nur in endlicher Anzahl 
Vorkommen. 
Man denke sich wieder wie in § 1 die Zahlen x, y als 
systematische Brüche mit beliebiger Basis h dargestellt. 
Ist dann x irgend eine systematische (d. h. durch einen 
endlichen Bruch darstellbare) Zahl, pj;' die zugehörige Bruch- 
steilen-Anzahl, so sollen dem Werthe x alle diejenigen \J zu- 
geordnet werden, für welche — Px' — vice versa. Werden 
zugleich die x bezw. y auf ein ganz beliebiges endliches 
Intervall (a, A) bezw. (&, B) eingeschränkt, so gehört zu jedem 
x' nur eine endliche Anzahl von y (nämlich innerhalb jedes 
ganzzahligen Intervalles z. B. (0, 1) genau hpx- — 1 {h — 1)) — 
und umgekehrt. Es liegt also auf jeder Vertikalen ^ = a;', 
sowie auf jeder Horizontalen y — y stets nur eine endliche 
Anzahl von Punkten {x\ während auf den Vertikalen 
i = X und den Horizontalen y = y, wenn x, y nicht-syste- 
matisch, überhaupt keine Punkte (x, y) liegen. Nichts- 
destoweniger liegen die Punkte {x', y) in jedem zweidimen- 
sionalen Gebiete überall dicht. Betrachtet man nämlich 
irgend eine um 45“ gegen die Axen geneigte, durcli den An- 
fangspunkt gehende Linie: 
= I -|- a, 
wo a eine positive oder negative systematische Zahl bezw. 0 
bedeutet, so wird sobald (übrigens auch schon 
iüY pt— Pa, mit Au.sschluss derjenigen |, deren letzte Bruch- 
stelle diejenige von a zu 0 oder b ergänzt). Darnach gehören 
alle Punkte jener Geraden, deren Abscissen systematische 
Zahlen mit einem pt > pa sind, zur Menge der {x, y), und die 
letzteren liegen also auf jeder solchen Geraden überall dicht. 
Da aber bei veränderlichem a auch diese Geraden überall 
dicht liegen, so folgt in der That, dass die Punkte (x', y) 
in jedem zweidimensionalen Gebiete überall dicht liegen. 
1899. Sitzungsb. d. math.-phys. Cl. 4 
